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【摘 要】认知冲突是学生原有的认知结构与当前面临的学习情境之间暂时的矛盾与冲突，是已有的知识和经验与新知识之间存在某种差距而导致的失衡。本课的教学，层层递进的四次认知冲突，学生的经验被激活，思维被激发，情感被激励。最终，学生的认识从模糊走向统一，从清楚走向简洁，从混沌走向通透，从完整走向完善。
【关键词】认知冲突 用数对确定位置 建构
“用数对确定位置”是苏教版教材四年級下册的教学内容。从学生已有知识经验来看，他们在一年级的时候已经会用直线上的点来描述数的顺序和大小关系，日常生活中也积累了用类似“第几排第几个”的方式描述物体位置的方法。通过这节课的学习，主要是将学生在日常生活中积累起来的描述物体所在位置的经验上升到用抽象的数对来确定位置，初步感悟数形结合的思想方法，同时也为学生第三学段学习平面直角坐标系做一些铺垫和准备。那么，在本课的教学中，怎样让学生在已有经验的基础上，掌握运用数对确定位置的适用范围以及其中所隐含的数学规则？怎样让学生在新旧经验的冲突中引发学生的数学思考，实现对新知的自主建构，进而完成认知结构的重组与优化，深度理解用数对确定位置的思想与方法？对此，我们进行了实践与思考。
一、激活经验，引发认知冲突，从模糊走向统一
【教学片段】
教师出示主题图：
师：这是小军在教室里的座位图。（遮去其他五竖排，只显示小军这一竖排）假如只有这一竖排，小军坐在哪儿？
生：从前数第3个。
生：从后数第3个。
师：（遮去其他四横排，只显示小军这一横排）如果只看这一横排，小军又坐在哪儿？
生：小军坐在从左数第4个，从右数第3个。
师：是的，我们在一年级的时候就学过用第几来描述一横排或一竖排的物体的位置。那现在有这么多座位，（出示完整座位图）小军坐在哪里，该怎么说呢？同桌讨论一下。
（学生讨论后交流）
生：小军坐在第4组第3排。
生：我从右边看，小军坐在第3组第3排。
生：我觉得还可以说小军坐在第3排第4个，第3组第3个也对。
师：你们真是生活经验丰富的孩子。对同一个人小军的座位，就有4种不同的说法。但假如没有座位图，光看这4种说法，一定是表示同一个人的位置吗？
生（异口同声）：不一定——
师：对呀，由于生活中的标准不太统一，同一位置往往有不同的说法。那在交流时就容易让人产生误会，这样来描述物体位置是比较模糊的。（板书：模糊）
师（追问）：那怎样来解决这个问题呢？
生：我们可以先做个规定，把观察的方向统一起来。
师：是啊，我们必须规定一个统一的标准。（板书：统一）其实数学家也是这么认为的。在数学上，我们把竖排叫作列，横排叫作行。（板书：竖排叫作列，横排叫作行）确定第几列要从左往右数，确定第几行要从前往后数。
师：现在，你能用列和行来说说小军的位置吗？（板书：第4列第3行）
师：假如我们用小圆圈来代替这里的座位（媒体显示），找找看，第4列第3行在哪儿？你是怎么找的？（动画演示：第4列和第3行）这恰恰是谁的座位？还模糊吗？
生：这就是小军的座位，不模糊了。
师：看来，有统一的规定就是好。那小军的同学小红、小明又坐在哪儿，你能来说一说吗？
……
【分析与思考】在新知生长点处引发冲突，可以唤醒学生潜在的、无意识的生活经验，产生主动寻求策略解决问题的心理趋向。用数对来确定位置的新知生长点，是学生在一年级的时候已经会用直线上的点来描述数的顺序和大小关系，在日常生活中也积累了用类似“第几排第几个”的方式描述物体位置的经验。所以在上课伊始，就呈现学生熟悉的教室里有序排列的座位场景，用“小军坐在哪里”这一问题，有效激活了学生的已有经验，在交流中，产生了实际生活中描述同一个位置的方式是多样的，究竟该选择哪一种来描述才精准？此时，学生已有的认知结构与当前的学习情境之间产生了暂时性的矛盾，在这一冲突的指引下，激发学生强烈的思考动机，很自然地就得出了要用一致的标准来表示位置的结论，建立了对确定位置统一规则的深刻理解与感悟，为将原有知识结构中对位置模糊的表达，逐渐走向在统一标准下精准的描述奠定了基础。
二、创设情境，制造认知冲突，从清楚走向简洁
【教学片段】
师：现在大家会用列与行来确定位置了，感觉怎么样？
生：现在说起来很清楚了，不会产生误会了。（板书：清楚）
师：那我再任意选几个座位，你会用列和行清楚地来说一说吗？
生（齐）：会！
游戏：“你说我记录”，一小组6位同学依次说出屏幕上指定的位置，其余同学做记录员，把正确答案记录在作业纸上。
交流：小小记录员们，和这一组的同学合作愉快吗？
生（满脸不满）：不愉快，字太多，来不及写。
师（心里偷着乐）：嗯，真要是记录完整，字的确挺多的。看来说起来清楚但写起来麻烦，还不够完美。那怎么办呢？
生：我们能不能想一种简单一点的写法，来代替第几行第几列，就像面积能用S表示，周长能用C表示一样。
师：你们的想法真棒。那接下来，我们就以小军的座位为例，请前后四人小组合作，想一想第4列第3行，还可以怎样写得更简洁些？并把你们的想法记录在小组合作单上。
（学生四人小组合作学习）
交流：
1.展示几组同学的写法。
4列 3行 4 3 4 3 L4 R3 ……
2.让每一组派代表来说一说各自的想法。
师：你们的写法都比原来的简洁了，真棒！在这些各种各样不同的表示方法中，有什么共同的地方？ 生：都有4和3这两个数字。
师：每个小组都不约而同地保留了4，3这两个数，它们分别表示什么？
生：4表示第4列，3表示第3行。
师：看来列数和行数很重要，缺一不可。你们还真和几百年前的数学家想到一块儿去，不过他们是这样写的。
师：数学家把这种写法命名为“数对”。读法也很简单，就读作“4，3”。
师（追问）：数对中的4表示什么意思？3表示什么意思？
师：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，并用小括号把这两个数括起来。
师：那现在再让你来记录刚才这6位同学的位置，你愿意吗？
生（异口同声）：愿意，用数对！
（学生第二次记录屏幕上出现的6个位置）
师：用数对来记录，感觉怎么样？
生：很方便，很简洁。
生：这下记录的速度能跟上说的速度了，配合得很默契！
师：那给这么简洁的数对一些掌声。
……
【分析与思考】教学中有很多关键点，将这些关键点简单告知学生，很难让学生对知识本质实现真正的理解，教师要遵循学生学习的内在法则，诱导学生产生认知冲突，让学生在探索中获得结论，学生才能形成自己的认识。在上述环节中，学生会用列和行来确定位置后对数对进行认识，没有直接告知数对的读法写法，而是特意创设“你说我记录”的活动，让学生在记录的过程中，直观地感受到用列和行来确定位置，说起来方便，但记录起来却费时费力，在这种强烈的认知冲突下，再一次诱发学生想用更简洁明了的方法描述位置的心理需求。接着，放手让学生主动参与知识的建构，尝试创造出自己的写法，再引导学生发现不同方法中的共同属性，从而引出数对的概念及特征。在这一过程中，学生经历了将实际问题抽象成数学模型的过程，在理解数对的同时，更是体验到了数学的简洁美。
三、诱发争议，直面认知冲突，从混沌走向通透
【教学片段】
师：小军班级的座位都能用数对来表示，那你们现在的位置能用数对来表示吗？
生（自信满满）：能——
师：说说看，方××的位置用哪个数对表示？（这位同学坐在第一排，从学生视角看，左数第4列，右数第5列）
生1：（4，1）他坐在第4列第1行。
生2：不对，应该是（5，1），因为方××坐在第5列第1行，而不是第4列第1行。
其余同学开始窃窃私语，有的说是（4，1），有的说是（5，1）。
师：平面图上的位置你们统一了，但在实际生活中的同一个位置，你们又有两种不同的说法了，为什么呢？
生3：（生3从右往左，边数边说）看，我这样数过去小方坐在第4列啊。
生4：不对，不对，你是从右开始数的，列要从左开始数，我从左边数，小方坐在第5列呢。（其余同学一脸疑惑，质疑声更大了）
师：看来，现在争论的焦点是我们班级中的第1列在哪儿？老师早有准备（屏幕出示课前拍好的照片），看，这是我们班的座位全景图，你们现在看看这图上的第1列在哪儿？你是从哪边数起？
学生统一从左边数起，确定第1列。
师：我们统一看照片，都作为观察者，总算把第1列在哪儿统一了。
师：那我们请第1列起立。看，屏幕上从左数起，在实际教室里是从谁的左边数起的？
生5：是我们的右边，应该是老师你的左边。
師：对啊，为了把我们空间里的位置和平面图上看到的一致起来，总是以观察者的视角，从观察者的左边数起，确定第1列。那班级中座位的第1列，就要以站在讲台前的观察者的左边数起，也就是从老师的左边数起，为第1列。
师（追问）：那现在（4，1），（5，1）这两个数对，哪个能表示方××的位置？
生（齐）：（5，1）。
师：那快速想一想，自己坐在第几列第几行，把自己的数对在作业纸上写下来吧。（指生汇报）
小结：在观察空间里的位置时，和观察平面图一样，都要从观察者的左边数起，确定第1列。每个人的座位是唯一的，那么表示位置的数对也是独有的，数对与位置是“一一对应”的。正因为这样，用数对来确定位置才是准确的、科学的。
……
【分析与思考】学习是为了更好的应用，学生学会用数对来确定平面图上的位置后，用数对确定学生在教室里的位置，是生活中常见的问题之一，同时，它也是帮助学生进一步解释与应用数对这一模型的需要。但现实空间中的第1列的确定，学生会和平面图形上的第1列的确定方法混淆，产生错误。在本环节中，教师非但没有回避学生的这一问题，而是主动出击，率先抛出班级中“方××的位置用哪个数对表示”这个问题，有意诱发争议，为学生制造认知冲突，给学生提供思维的动力，激发解决问题的愿望，让学生在思维碰撞与质疑中越辩越清晰，思维越来越通透，也会体会到矛盾解决品尝胜利的快感，使数学课堂彰显跌宕起伏的美感。
四、拓展延伸，挖掘认知冲突，从完整到完善
【教学片段】
师：像我们班级中排放整齐的座位，能用数对来确定位置，那走出教室，像这样公园平面图上的3个景点，你还能确定它们的位置吗？
生：不能。
师：几百年前，著名的数学家笛卡尔也发现了这个问题，他反复思考着：通过什么办法，才能把“点”和“数”联系起来呢？有一天，他生病卧床，突然看见屋角上的一只蜘蛛在奋力织网。受到启发，可以把蜘蛛看作一个点，蜘蛛的每个位置就能用列和行这一组数确定下来。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了数对。你受到蜘蛛的启发，有灵感了吗？
生：我们可以在这张图上打上格子。
生：对，就像方格纸那样。
师：听你们的，现在我们也补上一张网，0表示蜘蛛的位置，谁来说说它们的位置呢？
生：假山（2，4），超市（3，1），水池（4，2）。
师：（出示古塔，报亭）（见下图）古塔和报亭的位置呢，不行了吧？
生：可以啊，继续向右面铺网格啊。
师：那花园、溪流和竹林呢？
生：继续向左边和下边铺网格啊。
师：真棒，知道吗，这就是笛卡尔坐标系，也叫作平面直角坐标系的雏形。但现在你会表示花园、溪流、竹林的位置吗？
生：还是不会啊，花园在第几行这里没数据。
生：溪流在第几列第几行都没有数据。
生：竹林在第几列不知道。
师：是的，这部分知识我们要在初中时进行系统学习。到那时，随着学习的深入，你会越发感受到笛卡尔的这一发现，对人类数学的研究起着多么关键的作用。
【分析与思考】在皮亚杰勾画的认知螺旋图中，认知的螺旋是开放性的，而且它的开口越来越大，因为“任何知识，在解决了前面的问题时，又会提出新的问题”。在课的尾声，学生已经完成了这节课的学习目标，理解数对，会用数对表示具体情境中物体的位置，在学生的认知达到平衡状态时，教师接着提出新的问题：像这样散落的假山、水池、超市的位置，还能用数对表示吗？一石激起千层浪，在新的认知冲突中，学生在笛卡尔故事的启发下，得出了可以铺格子的方法。接着再相继出示散落在四周的古塔、报亭、花园、溪流、竹林，追问它们的位置怎样用数对来表示。这一系列问题的出现，又再一次打破了学生认知的平衡，他们通过思考，找到可以继续向四周铺格子的解决方案。这样一来，将静态的方格图动态化，使学生认识到：方格图、列和行都是一种人为的创造，可以延长移动，还联系到其他几个象限的知识，渗透了平面直角坐标系的基本思想。正是在一次次的认知冲突中，学生的思维经历了“平衡—不平衡—平衡” 的升腾跌宕，使学生的认知经历了“解构—建构—重构” 的过程，认知结构不断完善。
总之，一个智慧的教师，应该善于在学生的学习过程中不断制造认知冲突，引导学生充分激活已有的学习经验，主动地建构知识，获得对数学知识本质的理解。
（江苏省宜兴市第二实验小学 214206）
【关键词】认知冲突 用数对确定位置 建构
“用数对确定位置”是苏教版教材四年級下册的教学内容。从学生已有知识经验来看，他们在一年级的时候已经会用直线上的点来描述数的顺序和大小关系，日常生活中也积累了用类似“第几排第几个”的方式描述物体位置的方法。通过这节课的学习，主要是将学生在日常生活中积累起来的描述物体所在位置的经验上升到用抽象的数对来确定位置，初步感悟数形结合的思想方法，同时也为学生第三学段学习平面直角坐标系做一些铺垫和准备。那么，在本课的教学中，怎样让学生在已有经验的基础上，掌握运用数对确定位置的适用范围以及其中所隐含的数学规则？怎样让学生在新旧经验的冲突中引发学生的数学思考，实现对新知的自主建构，进而完成认知结构的重组与优化，深度理解用数对确定位置的思想与方法？对此，我们进行了实践与思考。
一、激活经验，引发认知冲突，从模糊走向统一
【教学片段】
教师出示主题图：
师：这是小军在教室里的座位图。（遮去其他五竖排，只显示小军这一竖排）假如只有这一竖排，小军坐在哪儿？
生：从前数第3个。
生：从后数第3个。
师：（遮去其他四横排，只显示小军这一横排）如果只看这一横排，小军又坐在哪儿？
生：小军坐在从左数第4个，从右数第3个。
师：是的，我们在一年级的时候就学过用第几来描述一横排或一竖排的物体的位置。那现在有这么多座位，（出示完整座位图）小军坐在哪里，该怎么说呢？同桌讨论一下。
（学生讨论后交流）
生：小军坐在第4组第3排。
生：我从右边看，小军坐在第3组第3排。
生：我觉得还可以说小军坐在第3排第4个，第3组第3个也对。
师：你们真是生活经验丰富的孩子。对同一个人小军的座位，就有4种不同的说法。但假如没有座位图，光看这4种说法，一定是表示同一个人的位置吗？
生（异口同声）：不一定——
师：对呀，由于生活中的标准不太统一，同一位置往往有不同的说法。那在交流时就容易让人产生误会，这样来描述物体位置是比较模糊的。（板书：模糊）
师（追问）：那怎样来解决这个问题呢？
生：我们可以先做个规定，把观察的方向统一起来。
师：是啊，我们必须规定一个统一的标准。（板书：统一）其实数学家也是这么认为的。在数学上，我们把竖排叫作列，横排叫作行。（板书：竖排叫作列，横排叫作行）确定第几列要从左往右数，确定第几行要从前往后数。
师：现在，你能用列和行来说说小军的位置吗？（板书：第4列第3行）
师：假如我们用小圆圈来代替这里的座位（媒体显示），找找看，第4列第3行在哪儿？你是怎么找的？（动画演示：第4列和第3行）这恰恰是谁的座位？还模糊吗？
生：这就是小军的座位，不模糊了。
师：看来，有统一的规定就是好。那小军的同学小红、小明又坐在哪儿，你能来说一说吗？
……
【分析与思考】在新知生长点处引发冲突，可以唤醒学生潜在的、无意识的生活经验，产生主动寻求策略解决问题的心理趋向。用数对来确定位置的新知生长点，是学生在一年级的时候已经会用直线上的点来描述数的顺序和大小关系，在日常生活中也积累了用类似“第几排第几个”的方式描述物体位置的经验。所以在上课伊始，就呈现学生熟悉的教室里有序排列的座位场景，用“小军坐在哪里”这一问题，有效激活了学生的已有经验，在交流中，产生了实际生活中描述同一个位置的方式是多样的，究竟该选择哪一种来描述才精准？此时，学生已有的认知结构与当前的学习情境之间产生了暂时性的矛盾，在这一冲突的指引下，激发学生强烈的思考动机，很自然地就得出了要用一致的标准来表示位置的结论，建立了对确定位置统一规则的深刻理解与感悟，为将原有知识结构中对位置模糊的表达，逐渐走向在统一标准下精准的描述奠定了基础。
二、创设情境，制造认知冲突，从清楚走向简洁
【教学片段】
师：现在大家会用列与行来确定位置了，感觉怎么样？
生：现在说起来很清楚了，不会产生误会了。（板书：清楚）
师：那我再任意选几个座位，你会用列和行清楚地来说一说吗？
生（齐）：会！
游戏：“你说我记录”，一小组6位同学依次说出屏幕上指定的位置，其余同学做记录员，把正确答案记录在作业纸上。
交流：小小记录员们，和这一组的同学合作愉快吗？
生（满脸不满）：不愉快，字太多，来不及写。
师（心里偷着乐）：嗯，真要是记录完整，字的确挺多的。看来说起来清楚但写起来麻烦，还不够完美。那怎么办呢？
生：我们能不能想一种简单一点的写法，来代替第几行第几列，就像面积能用S表示，周长能用C表示一样。
师：你们的想法真棒。那接下来，我们就以小军的座位为例，请前后四人小组合作，想一想第4列第3行，还可以怎样写得更简洁些？并把你们的想法记录在小组合作单上。
（学生四人小组合作学习）
交流：
1.展示几组同学的写法。
4列 3行 4 3 4 3 L4 R3 ……
2.让每一组派代表来说一说各自的想法。
师：你们的写法都比原来的简洁了，真棒！在这些各种各样不同的表示方法中，有什么共同的地方？ 生：都有4和3这两个数字。
师：每个小组都不约而同地保留了4，3这两个数，它们分别表示什么？
生：4表示第4列，3表示第3行。
师：看来列数和行数很重要，缺一不可。你们还真和几百年前的数学家想到一块儿去，不过他们是这样写的。
师：数学家把这种写法命名为“数对”。读法也很简单，就读作“4，3”。
师（追问）：数对中的4表示什么意思？3表示什么意思？
师：数对中的第一个数表示第几列，第二个数表示第几行；两个数之间要用逗号隔开，并用小括号把这两个数括起来。
师：那现在再让你来记录刚才这6位同学的位置，你愿意吗？
生（异口同声）：愿意，用数对！
（学生第二次记录屏幕上出现的6个位置）
师：用数对来记录，感觉怎么样？
生：很方便，很简洁。
生：这下记录的速度能跟上说的速度了，配合得很默契！
师：那给这么简洁的数对一些掌声。
……
【分析与思考】教学中有很多关键点，将这些关键点简单告知学生，很难让学生对知识本质实现真正的理解，教师要遵循学生学习的内在法则，诱导学生产生认知冲突，让学生在探索中获得结论，学生才能形成自己的认识。在上述环节中，学生会用列和行来确定位置后对数对进行认识，没有直接告知数对的读法写法，而是特意创设“你说我记录”的活动，让学生在记录的过程中，直观地感受到用列和行来确定位置，说起来方便，但记录起来却费时费力，在这种强烈的认知冲突下，再一次诱发学生想用更简洁明了的方法描述位置的心理需求。接着，放手让学生主动参与知识的建构，尝试创造出自己的写法，再引导学生发现不同方法中的共同属性，从而引出数对的概念及特征。在这一过程中，学生经历了将实际问题抽象成数学模型的过程，在理解数对的同时，更是体验到了数学的简洁美。
三、诱发争议，直面认知冲突，从混沌走向通透
【教学片段】
师：小军班级的座位都能用数对来表示，那你们现在的位置能用数对来表示吗？
生（自信满满）：能——
师：说说看，方××的位置用哪个数对表示？（这位同学坐在第一排，从学生视角看，左数第4列，右数第5列）
生1：（4，1）他坐在第4列第1行。
生2：不对，应该是（5，1），因为方××坐在第5列第1行，而不是第4列第1行。
其余同学开始窃窃私语，有的说是（4，1），有的说是（5，1）。
师：平面图上的位置你们统一了，但在实际生活中的同一个位置，你们又有两种不同的说法了，为什么呢？
生3：（生3从右往左，边数边说）看，我这样数过去小方坐在第4列啊。
生4：不对，不对，你是从右开始数的，列要从左开始数，我从左边数，小方坐在第5列呢。（其余同学一脸疑惑，质疑声更大了）
师：看来，现在争论的焦点是我们班级中的第1列在哪儿？老师早有准备（屏幕出示课前拍好的照片），看，这是我们班的座位全景图，你们现在看看这图上的第1列在哪儿？你是从哪边数起？
学生统一从左边数起，确定第1列。
师：我们统一看照片，都作为观察者，总算把第1列在哪儿统一了。
师：那我们请第1列起立。看，屏幕上从左数起，在实际教室里是从谁的左边数起的？
生5：是我们的右边，应该是老师你的左边。
師：对啊，为了把我们空间里的位置和平面图上看到的一致起来，总是以观察者的视角，从观察者的左边数起，确定第1列。那班级中座位的第1列，就要以站在讲台前的观察者的左边数起，也就是从老师的左边数起，为第1列。
师（追问）：那现在（4，1），（5，1）这两个数对，哪个能表示方××的位置？
生（齐）：（5，1）。
师：那快速想一想，自己坐在第几列第几行，把自己的数对在作业纸上写下来吧。（指生汇报）
小结：在观察空间里的位置时，和观察平面图一样，都要从观察者的左边数起，确定第1列。每个人的座位是唯一的，那么表示位置的数对也是独有的，数对与位置是“一一对应”的。正因为这样，用数对来确定位置才是准确的、科学的。
……
【分析与思考】学习是为了更好的应用，学生学会用数对来确定平面图上的位置后，用数对确定学生在教室里的位置，是生活中常见的问题之一，同时，它也是帮助学生进一步解释与应用数对这一模型的需要。但现实空间中的第1列的确定，学生会和平面图形上的第1列的确定方法混淆，产生错误。在本环节中，教师非但没有回避学生的这一问题，而是主动出击，率先抛出班级中“方××的位置用哪个数对表示”这个问题，有意诱发争议，为学生制造认知冲突，给学生提供思维的动力，激发解决问题的愿望，让学生在思维碰撞与质疑中越辩越清晰，思维越来越通透，也会体会到矛盾解决品尝胜利的快感，使数学课堂彰显跌宕起伏的美感。
四、拓展延伸，挖掘认知冲突，从完整到完善
【教学片段】
师：像我们班级中排放整齐的座位，能用数对来确定位置，那走出教室，像这样公园平面图上的3个景点，你还能确定它们的位置吗？
生：不能。
师：几百年前，著名的数学家笛卡尔也发现了这个问题，他反复思考着：通过什么办法，才能把“点”和“数”联系起来呢？有一天，他生病卧床，突然看见屋角上的一只蜘蛛在奋力织网。受到启发，可以把蜘蛛看作一个点，蜘蛛的每个位置就能用列和行这一组数确定下来。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了数对。你受到蜘蛛的启发，有灵感了吗？
生：我们可以在这张图上打上格子。
生：对，就像方格纸那样。
师：听你们的，现在我们也补上一张网，0表示蜘蛛的位置，谁来说说它们的位置呢？
生：假山（2，4），超市（3，1），水池（4，2）。
师：（出示古塔，报亭）（见下图）古塔和报亭的位置呢，不行了吧？
生：可以啊，继续向右面铺网格啊。
师：那花园、溪流和竹林呢？
生：继续向左边和下边铺网格啊。
师：真棒，知道吗，这就是笛卡尔坐标系，也叫作平面直角坐标系的雏形。但现在你会表示花园、溪流、竹林的位置吗？
生：还是不会啊，花园在第几行这里没数据。
生：溪流在第几列第几行都没有数据。
生：竹林在第几列不知道。
师：是的，这部分知识我们要在初中时进行系统学习。到那时，随着学习的深入，你会越发感受到笛卡尔的这一发现，对人类数学的研究起着多么关键的作用。
【分析与思考】在皮亚杰勾画的认知螺旋图中，认知的螺旋是开放性的，而且它的开口越来越大，因为“任何知识，在解决了前面的问题时，又会提出新的问题”。在课的尾声，学生已经完成了这节课的学习目标，理解数对，会用数对表示具体情境中物体的位置，在学生的认知达到平衡状态时，教师接着提出新的问题：像这样散落的假山、水池、超市的位置，还能用数对表示吗？一石激起千层浪，在新的认知冲突中，学生在笛卡尔故事的启发下，得出了可以铺格子的方法。接着再相继出示散落在四周的古塔、报亭、花园、溪流、竹林，追问它们的位置怎样用数对来表示。这一系列问题的出现，又再一次打破了学生认知的平衡，他们通过思考，找到可以继续向四周铺格子的解决方案。这样一来，将静态的方格图动态化，使学生认识到：方格图、列和行都是一种人为的创造，可以延长移动，还联系到其他几个象限的知识，渗透了平面直角坐标系的基本思想。正是在一次次的认知冲突中，学生的思维经历了“平衡—不平衡—平衡” 的升腾跌宕，使学生的认知经历了“解构—建构—重构” 的过程，认知结构不断完善。
总之，一个智慧的教师，应该善于在学生的学习过程中不断制造认知冲突，引导学生充分激活已有的学习经验，主动地建构知识，获得对数学知识本质的理解。
（江苏省宜兴市第二实验小学 214206）