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摘要：解析几何是用代数方法解决几何问题，它省去了平面几何的逻辑推理，降低了解题难度，但有时运算量较大，在解题中容易出现计算方面的错误. 由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系，因此在求解某些几何问题时，若能注意结合图形特征，联想平面几何知识，巧妙地运用有关的平面几何性质，则可避免冗长的推导和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了，获得事半功倍的解题效果.
关键词：直角三角形；等边三角形；三角形的面积公式；三角形中位线
解析几何是用代数方法解决几何问题，它省去了平面几何的逻辑推理，降低了解题难度，但有时运算量较大，在解题中容易出现计算方面的错误. 由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系，因此在求解某些几何问题时，若能注意结合图形特征，联想平面几何知识，巧妙地运用平面几何的相关性质，则可避免冗长的推导和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了，获得事半功倍的解题效果. 在2007年的高考中，不少解析几何题目，特别是选择题、填空题，结合平面几何知识进行解答时，显得特别简捷.
利用直角三角形的性质
例1（全国Ⅱ文）设F1，F2分别是双曲线x2－=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且•=0，则+等于（）
A． ?摇 B． 2
C． ?摇 D． 2
分析本题如用解析几何的方法，难以入手. 考虑•=0，得△PF1F2是直角三角形，PO是直角三角形的中线，则可简单解得.
解答由•=0， 得∠F1PF2=. 则+=2==2c=2. 故选B.
利用直角三角形、等边三角形的性质
例2（全国Ⅰ理）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积为（）
A． 4B． 3 C． 4 D． 8
分析本题的一般解法是求出过F点的直线方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，然后求出AK，最后再求出面积. 这是解析几何的基本方法，有一定的运算量.
如果注意到△AKF是等边三角形，△MKF是有一个角为30°的直角三角形，则解答过程简捷，运算量小.
解答如图1，∠AKF=∠KFM，由抛物线的定义可知AF=AK，所以∠AKF=∠AFK.
则∠AFK=∠KFM==，
即△AKF为等边三角形.
因为FM=2，∠KFM=，
所以KF=2FM=4.
故S△AKF=×42=4. 故选C.
可以看到，利用平面平何的知识解答时，简化了运算，这既提高了准确性，又节约了时间. 类似的题目还有山东的第13题：
设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则为 ．
利用直角三角形的性质与三角形的面积公式
例3（浙江文、理）已知双曲线－=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，PF1•PF2＝4ab，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. 2D. 3
分析△F1PF2是直角三角形，PO为直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形中位线的性质可知PO=c，再利用△F1PF2的面积建立第二个方程，联立，即可求出离心率.
解答设点P的坐标为±，h，由△F1PF2是直角三角形，PO为直角三角形斜边上的中线，所以PO=c. 利用三角形的面积公式有F1F2h=4ab，即
2+h2=c2，2c×h=4ab.
消去h，再由b2=a2－c2，即求得离心率为，故选B.
利用三角形中位线的性质
例4（辽宁）设椭圆+=1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则= ．
分析本题的一般方法是由点P到左准线的距离与点P的横坐标有关，求出点P的坐标，然后再利用向量的坐标求出的值. 这种方法运算量大，利用平面几何知识进行解决的话，则比较简单.
由=（+）知，M为线段PF的中点，因此可利用平面几何知识求的值.
解答设F ′为椭圆的右焦点，则=PF ′.
又因为点P到椭圆左准线的距离为10，
所以PF=10×=6. 从而PF ′=10－6=4.
故=PF ′=2.
本题通过数形结合，利用三角形中位线的性质，使得解答过程简单，并揭示了题目的本质.
类似的题目还有天津文科第22题的第（1）问：
设椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF1，证明a=b.
利用线段垂直平分线的性质
例5（湖南理）设F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）
A． 0，?摇 B． 0，
C． ，1 D． ，1
分析本题的一般思路是引入点P的纵坐标为参数，写出线段PF1的垂直平分线的方程，利用垂直平分线过点F2建立关于该参数的方程，再借助该参数的存在性建立关于基本量a，c的不等式，从而求出离心率的取值范围. 这种方法运算量大. 平面几何的方法是，根据线段垂直平分线的性质和直角三角形边的不等关系建立关于基本量c的不等式，从而可求出离心率的取值范围.
图2
解答如图2，连结PF2，设右准线l与x轴的交点为Q，
则PF2=F1F2=2c，F2Q=－c.
由PF2≥F2Q，得2c≥－c.
解得≥，即e∈，1. 故选D.
关键词：直角三角形；等边三角形；三角形的面积公式；三角形中位线
解析几何是用代数方法解决几何问题，它省去了平面几何的逻辑推理，降低了解题难度，但有时运算量较大，在解题中容易出现计算方面的错误. 由于解析几何问题与几何图形有着极密切的联系，因此在求解某些几何问题时，若能注意结合图形特征，联想平面几何知识，巧妙地运用平面几何的相关性质，则可避免冗长的推导和运算，大大降低难度，使解题过程简捷而明了，获得事半功倍的解题效果. 在2007年的高考中，不少解析几何题目，特别是选择题、填空题，结合平面几何知识进行解答时，显得特别简捷.
利用直角三角形的性质
例1（全国Ⅱ文）设F1，F2分别是双曲线x2－=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且•=0，则+等于（）
A． ?摇 B． 2
C． ?摇 D． 2
分析本题如用解析几何的方法，难以入手. 考虑•=0，得△PF1F2是直角三角形，PO是直角三角形的中线，则可简单解得.
解答由•=0， 得∠F1PF2=. 则+=2==2c=2. 故选B.
利用直角三角形、等边三角形的性质
例2（全国Ⅰ理）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积为（）
A． 4B． 3 C． 4 D． 8
分析本题的一般解法是求出过F点的直线方程，与抛物线方程联立求出点A的坐标，然后求出AK，最后再求出面积. 这是解析几何的基本方法，有一定的运算量.
如果注意到△AKF是等边三角形，△MKF是有一个角为30°的直角三角形，则解答过程简捷，运算量小.
解答如图1，∠AKF=∠KFM，由抛物线的定义可知AF=AK，所以∠AKF=∠AFK.
则∠AFK=∠KFM==，
即△AKF为等边三角形.
因为FM=2，∠KFM=，
所以KF=2FM=4.
故S△AKF=×42=4. 故选C.
可以看到，利用平面平何的知识解答时，简化了运算，这既提高了准确性，又节约了时间. 类似的题目还有山东的第13题：
设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则为 ．
利用直角三角形的性质与三角形的面积公式
例3（浙江文、理）已知双曲线－=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，PF1•PF2＝4ab，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. 2D. 3
分析△F1PF2是直角三角形，PO为直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形中位线的性质可知PO=c，再利用△F1PF2的面积建立第二个方程，联立，即可求出离心率.
解答设点P的坐标为±，h，由△F1PF2是直角三角形，PO为直角三角形斜边上的中线，所以PO=c. 利用三角形的面积公式有F1F2h=4ab，即
2+h2=c2，2c×h=4ab.
消去h，再由b2=a2－c2，即求得离心率为，故选B.
利用三角形中位线的性质
例4（辽宁）设椭圆+=1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则= ．
分析本题的一般方法是由点P到左准线的距离与点P的横坐标有关，求出点P的坐标，然后再利用向量的坐标求出的值. 这种方法运算量大，利用平面几何知识进行解决的话，则比较简单.
由=（+）知，M为线段PF的中点，因此可利用平面几何知识求的值.
解答设F ′为椭圆的右焦点，则=PF ′.
又因为点P到椭圆左准线的距离为10，
所以PF=10×=6. 从而PF ′=10－6=4.
故=PF ′=2.
本题通过数形结合，利用三角形中位线的性质，使得解答过程简单，并揭示了题目的本质.
类似的题目还有天津文科第22题的第（1）问：
设椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF1，证明a=b.
利用线段垂直平分线的性质
例5（湖南理）设F1，F2分别是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）
A． 0，?摇 B． 0，
C． ，1 D． ，1
分析本题的一般思路是引入点P的纵坐标为参数，写出线段PF1的垂直平分线的方程，利用垂直平分线过点F2建立关于该参数的方程，再借助该参数的存在性建立关于基本量a，c的不等式，从而求出离心率的取值范围. 这种方法运算量大. 平面几何的方法是，根据线段垂直平分线的性质和直角三角形边的不等关系建立关于基本量c的不等式，从而可求出离心率的取值范围.
图2
解答如图2，连结PF2，设右准线l与x轴的交点为Q，
则PF2=F1F2=2c，F2Q=－c.
由PF2≥F2Q，得2c≥－c.
解得≥，即e∈，1. 故选D.