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在本论文中,我们主要研究了偏序集上滤子极大理想在Domain和半连续格上的应用以及GO-空间上紧半层的序扩张.
在前言中,我们简单地介绍了Domain理论,半连续格,GO-空间,线性序空间,紧半层的发展和研究背景.
在第一章中,我们首先在偏序集上引入并考察了滤子极大理想的概念,证明了相应的存在性定理.其次,我们得到了并半格上滤子极大理想的一个内部刻画,同时给出了分配格的理想格是空间式frame的新证法.此外,我们引入并考察了伪极大元和伪既约元的概念,利用图表的形式对连续格中各种类型的既约元和素元之间的关系进行了归纳总结,完善了文献《Continuous Latticesand Domains>(作者:G.Gierz,etc.)中的一个图表的相关内容,填补了在分配的连续格情形该图表的一个未知内容.最后,我们采用两种方法部分回答了该文献中的一个问题.第一章主要结果:
定理0.0.1设L是偏序集,I∈Idl L,F∈Filt L,I∩ F=φ,则必存在关于滤子F的极大理想M,使得M∩F=φ,且M(∈)I.
定理0.0.2设L是连续半格,若PRIME L=ψMAX L,则《是可乘的.
命题0.0.1设L是弱分配的连续(代数)格,IRR,L=WPRIME L当且仅当IRR L是Lawson闭的;若IRR,L=ψIRR L或PRIME L=WPRIME L则IRR L是Lawson闭的.
命题0.0.2设L是弱分配的连续(代数)格,若L是稳定(算术)的,则IRR L=PRIME L是Lawson闭的.
定理0.0.3设L是连续(代数)格且PRIME L是拓扑生成的.则PRIME L是Lawson闭的当且仅当《是可乘的,即当且仅当L是稳定(算术)的.
在第二章,我们首先给出了在半连续格条件下伪素元的内部刻画以及分配格,半连续格的内部刻画.其次,我们就文献[19]中的命题4.7提供了一种简单证法.此外,我们定义了一种新的元素-弱素元,给出了伪素元,(←)-素元与弱素元等价的条件.最后,我们讨论了半连续映射及半代数格,得到了一些好的结果.第二章主要结果:
定理0.0.4设L是完备格,1≠p∈L,对于下列条件:
(1)p是伪素元;
(2)对任意满足χ1∧χ2∧…∧χn(←)p的有限集族{χ1,χ2,…,χn}(∈)L,必存在χj≤p;
(3)由L↓p生成的滤子与理想(↓)p不相交.则有(1)(→)(2)且(2)(←)(3);若L是分配的半连续格,则上述三个条件等价.
定理0.0.5设L是完备格,对于下列条件:
(1)L是半连续格;
(2)对任意U∈σ(←)(L),U(∈)U{(↑)χ:χ∈U};
(3)对任意χ∈L,χ=V{∧U:χ∈U∈σ(←)(L)}.那么(3)(→)(1)(←)(2);若对任意y,z∈L,y(→)z总有y≤z,则上述三个条件等价.
定理0.0.6设L是完备格且L1是半连续格.若存在序保持的半连续映射r:L→L1和s:L1→L使得对任意A(∈)L,ros=idL1且s(r(A))∈A,则s(L1)是半连续格.
在第三章,为了研究徐晓泉与刘应明在文献[22]中提出的一个公开问题,我们引入且推广了集合上的(对偶)正规关系,并分别给出了它们的内部刻画.此外,我们证明了domain上的(≮)关系是正规的。我们还证明了交连续的拟连续domain上的(≮)关系是有限正规的.第三章主要结果:
定理0.0.7对于集合X上的二元关系p,下列条件等价:
(1)p是正规的;
(2)对任意(x,y)∈X,若(x,y)∈p,则存在u,u∈X,满足
(a)(u,x)∈p,(u,y)∈p且
(b)对任意s,t∈x,若(u,s)∈p和(u,t)∈p,则(s,t)∈p;
(3)p(∈)pop*o(p)-1.
定理0.0.8 Domain上的(≮)关系是正规的.
定理0.0.9交连续的拟连续domain上的≮关系是有限正规的.
最近H.Bennett和D.Lutzer证明了一个GO-空间的四分之层序扩张的好的结果,即X是四分之层的而且它的线性序扩张X*是完备的与X*是四分之层的以及X,X*的可度量性等价.在最后一章中,我们在Bennett和Lutzer的结果的基础上作了进一步的推广,并得到了GO-空间上紧半层序扩张的相应的结果.第四章主要结果:
定理0.0.10设X是GO-空间.则下列条件等价:
(α)X*是可度量的;
(b)X是可度量的;
(c)X有Gδ-对角线且X*是完备的;
(d)X*有Gδ-对角线.
定理0.0.11设X是GO-空间,若X*有σ-闭离散稠子集,则下列条件等价:
(α)X*是紧半层的;
(b)X是紧半层的;
(c)X*是可度量的;
(d)X是可度量的.