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本文主要研究了具有三种原子、一种键长的二维Thue-Morse(TM)晶格的电子能谱性质、按照三组元Thue-Morse(three-componentThue-Morse，简记为3CTM)序列排列的多层介质膜的光透射性质和一维Fibonacci准周期链的声子性质。
首先，在单电子、紧束缚、最近邻相互作用的座模型基础上，我们构造了具有三种原子、一种键长的二维TM超晶格；利用基于重整化群理论的分解—消元法(Decomposition-Decimationmethod，简记为DD方法)，研究其电子能谱的分裂规律。研究发现：在一级近似时，系统存在九种孤立原子簇，能谱的分裂方式为一分为十五支；在二级和三级近似时，偶数代系统中能谱的分裂方式与奇数代系统中的不同。如在二级近似时，A四原子分子构成的能级在偶数代时将一分为五而在奇数代时将一分为三。这主要是因为TM超晶格系统的对称性和边界条件都随代数变化。另外，其电子能谱在子代和下一级子代中都存在一分为二的分裂方式。这些重要的性质在准周期晶格中都没有发现过，这进一步证明了TM超晶格系统具有独特的对称性。我们的解析结果和数值计算结果符合得很好。
然后，我们描述了3CTM序列的结构特征，研究了按该序列排列的一维多层膜介质系统的光透射性质。在电磁场传播理论的基础上我们提出了一种新的研究光透射的方法—“分解—替换法”(Decomposition-Substitutionmethod，简记为DS方法)，利用这种方法我们可以通过分析系统结构直接预测出系统的光透射特性。利用电磁场传播理论和单位模矩阵特性，我们对光垂直入射时中心波长处的情况做了解析推导，对光垂直入射时任意入射波长的情况进行了数值计算。当光垂直入射时在中心波长处，解析结果、数值结果和预测结果三者完全一致。研究发现：垂直入射光在该系统中传播时，传播矩阵具有六循环性质(即…→Q(R1-1)→Q(R1-1R2)→Q(R2)→Q(R1)→Q(R1R2-1)→Q(R2-1)→…)，透射系数具有三循环性质(即…→C1→C2→C3→…)。这对于实验工作者开发、研制三稳态输出光学器件具有理论指导意义。
最后，在最近邻相互作用的简谐近似模型下，我们利用迁移矩阵法研究了相对弹性强度和代数对一维Fibonacci准周期链的声子谱影响的规律。研究发现：(1)对于确定的代数、或者一维准周期链的长度确定时，随着相对弹性强度的增大，谱线的范围将逐渐由低频扩展到高频；极限情况下，当相对弹性强度为l时，谱线将趋于连续；(2)对于确定的链结构、或者相对弹性强度确定时，随着系统代数的增加，声子频谱范围将减小，高频声子态将逐渐消失；(3)相对弹性强度和准周期链的长度对于声子频谱的影响、尤其是对高频声子态的影响是相反的，因此，声子谱范围和高频声子态数目将由二者共同确定；(4)对于确定长度的Fibonacci准周期链，只有当相对弹性强度超过某一临界值时才有高频声子态产生。