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本文研究了两类泛函不等式.一类是Beckner不等式：
μ(f2)-μ(｜f｜p)2/p≤2-p/C(p)()(f，f)，f∈()()，p∈[1，2).当p=1时，上式即Poincaré不等式，当p=2时，上式即log-Sobolev不等式.该不等式刻画了马氏半群关于某范数的指数收敛速度.另一类是弱Poincaré不等式：
μ(f2)≤α(r)()(f，f)+r‖f‖2∞，μ(f)=0，f∈()()r＞0.该不等式刻画了马氏半群在L2-范数下的一般收敛速度。
本文讨论了有限维紧流形上的Beckner不等式，分别利用新型Harnack不等式，Barkry-Emery方法，耦合方法给出了Beckner不等式的常数估计，进而将结果应用到连续自旋系统上讨论自由黎曼轨道空间上的Beckner不等式，给出了Beckner不等式常数的一个非平凡估计，另外，在允许Ricci曲率无界的条件下，给出了弱Poincaré不等式成立的定性描述，讨论最近粒子系统上的Beckner不等式，给出了Beckner不等式常数的一个估计，特别地，给出了log-Sobolev不等式常数的一个刻画。