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在微纳电子机械系统（MEMS/NEMS）中，由薄膜材料制作的悬臂梁是一种常用的结构元件。目前薄膜材料的厚度已经达到微纳米量级，在这样的尺度下，薄膜材料的表面应力（表面弹性）对其力学性能有重要影响。悬臂梁弯曲试验和振动实验已经大量应用于测量薄膜材料的各项力学性能，如利用悬臂梁的弯曲变形可以测量薄膜材料的弹性模量、屈服强度、断裂强度和表面残余应力等；利用测量悬臂梁振动频率可以分析薄膜材料弹性模量。利用悬臂梁的弯曲和振动实验测量薄膜材料力学性能大多基于材料力学的简单悬臂梁公式，鉴于MEMS/NEMS器件以及测试样本中的悬臂结构，在长度、宽度和厚度方向的尺寸更接近于悬臂薄板结构，推导基于经典薄板理论的悬臂板弯曲变形的解析解，有利于更精确地测量薄膜材料的各项力学性能。为此本文推导了残余表面应力作用下悬臂矩形板弯曲变形和面内变形的解析解，这些解析解由满足双调和函数的双向三角级数及低阶多项式之和给出，建立了更精确的测量薄膜材料残余表面应力的理论公式，分析了残余表面力作用下悬臂矩形板非均匀的面内内力。此外基于Gurtin-Murdoch表面弹性理论，研究了在纳米尺度下表面弹性对薄板弯曲变形的影响，分析了薄膜材料弯曲性能的尺寸相关性，获得了纳米悬臂矩形板在自由端中点受集中载荷作用下的挠度解析解。对于残余表面应力作用下的弯曲变形问题，计算了悬臂矩形板在不同泊松比情况下，长宽比由0.1变化到10的悬臂板自由端中点的挠度、转角和曲率，并和简单近似解如Stoney公式及有限元解进行了对比。结果表明，泊松比对自由端的挠度、转角和曲率有重要影响，但悬臂矩形板的长宽比的影响更为显著。当长宽比小于1时，悬臂矩形板的固定端对悬臂板的弯曲变形影响显著，而当长宽比较大时（如长宽比大于3时），固定端对悬臂板弯曲变形影响较小。在实际应用过程中，悬臂矩形板的长宽比常处于大于1的情况，此时由Stoney公式计算的挠度、转角和曲率的最大相对误差分别为16%、16%和10%，而本文基于双向三角级数求得的解析解，取其前两项计算所得的挠度、转角和曲率的最大相对误差减小到3%、2%和3%。悬臂矩形板在残余表面应力作用下，虽然在三个自由边处的内力为零，但在固定端附近会产生非均匀的面内内力。当矩形的长宽比小于1时，在矩形的较大部分会出现非零的面内内力，定性而言残余表面应力对悬臂矩形板的面内刚度影响明显；而当长宽比较大时，仅在离固定端比较近的较小区域出现非零面内内力，定性而言残余表面应力对悬臂矩形板的面内刚度影响较小。材料的泊松比对残余表面应力引起的悬臂矩形板的非零面内内力的大小及分布也有影响。当薄膜材料的厚度下降到纳米量级时，薄膜材料的表面弹性对其力学性能有重要影响。研究表明，当薄板的厚度降至纳米量级时，表面的弹性常数对纳米薄板的有效抗弯刚度有显著影响，取决于薄板上下表面的弹性常数，其有效抗弯刚度可随板厚的减小而增加或减小。本文以双向三角级数解法为基础，获得了纳米悬臂矩形板在自由端中点受集中载荷作用下的挠度解析解，自由端中点的挠度解析解和有限元解相比高度吻合。利用本文的结果分析了常用的悬臂梁挠度公式的精确性。研究分析表明，在长宽比a/b1的情况下，悬臂梁模型的计算结果误差较大，当长宽比1a/b2时，梁模型的计算结果和板模型的计算结果相比有不超过11%的相对误差；当长宽比a/b2时，梁模型的计算结果和薄板模型的计算结果相比有不超过7%的相对误差。本文推导的双向三角级数解析解，在a/b1的情况下，取其前三项进行计算，自由端挠度的最大相对误差小于2%，与简单悬臂梁公式相比，计算精度有很大程度的提高。