低阶对称群的若干计算问题

• 作 者: 张泽
• 出 处: 沈阳工业大学
• 发表日期: 2004年期
• 关键词: 对称群 共轭 群论 算法 置换

对称群无论在数学还是物理化学方面都有很多重要的应用。在实际的工程数学中经常需要计算某一个具体的置换群。研究对称群的某些子群（可解子群，幂零子群，Sylow-p子群，超可解子群）及其结构是计算群论中的一个重要课题。特别是在生物，物理，化学的领域中，知道这些群的结构将给研究带来很大的实际意义。本文结合GAP编程软件和有限群的一些性质，计算出对称群10 S的若干重要性质。具体地，对称群S10共有1593个共轭子群类，29594446个子群。其中循环群有42个共轭子群类，可解群有1418个共轭子群类，幂零群有531个共轭子群类，超可解群有923个共轭子群类，并且计算了对称群10 S中各阶子群的个数，各共轭子群类中所含子群的个数。每个共轭子群类的代表元也已求出。在次数及性质方面推广了黄本文教授等人的结果。我们还对对称群的共轭元素类问题进行计算。具体地，把S60中的元素按共轭关系分类，计算出对称群S60的共轭元素类的个数和每一类的一个代表元素，并给出其没有不动点的元素的阶的集合。在次数上推广了J. Bamberg博士等人关于强哥德巴赫猜想的结果。利用计算机对置换群进行计算时，低阶置换群的计算问题相对比较简单。但是随着阶数的增加，群的各种子群的性质会发生很大的变化。本文在计算对称群的共轭子群类和共轭元素类后，发现计算时的核心问题是化简有限群的阶数。一个高阶的有限群可以分成几个阶略小的子群。这使得在计算有限群时可以把一个复杂的问题化简成几个简单的问题分别处理。