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论文将FM-BEM应用于三维位势问题和三维弹性问题的边界积分方程，建立了完善的三维位势问题及三维弹性问题的FM-BEM离散式，并对其中的奇异积分项进行了处理，得到新离散式；研究了将FM-BEM适用于弹塑性问题边界元数值计算的数学理论，给出弹塑性FM-BEM基本解及核函数的计算公式，推导出球坐标系下相关的三阶偏导公式，并转化为27个直角坐标形式的三阶偏导计算公式，为FM-BEM解决轧制工程等领域中的弹塑性、塑性问题奠定数学基础。由于FM-BEM的高效性和低的内存占有量，使边界元法运算大规模问题成为可能。 论文共分为5章，第1章为绪论部分，概述了边界元法、快速多极展开法、快速多极边界元法的发展状况，指出了本课题的来源、内容和意义。 第2章介绍了快速多极展开法和快速多极边界元法的基本理论知识，为快速多极展开法融合于边界元法格式和后面要研究的快速多极边界元法奠定了理论基础；说明了快速多极展开法与边界元法的结合点。 第3章给出了三维位势问题FM-BEM离散式，对其中的奇异性进行了处理，并且得到一种新离散式。 第4章给出了三维弹性问题FM-BEM离散式，对其中的奇异性进行了处理，并且得到一种新离散式。 第5章研究了将FM-BEM适用于弹塑性问题边界元数值计算的数学理论，给出弹塑性FM-BEM基本解及核函数的计算公式，推导出球坐标系下相关的三阶偏导公式，并转化为27个直角坐标形式的三阶偏导计算公式，为FM-BEM解决轧制工程等领域中的弹塑性、塑性问题奠定数学基础。