【摘 要】
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信赖域子问题（TRS）的求解在数值优化和其它许多应用中起着至关重要的作用.广义Lanczos信赖域（GLTR）方法是求解大规模信赖域子问题的经典方法.然而,GLTR方法的收敛性分析理论至今仍然很不完善,虽然目前有一些近似目标值和近似解的收敛性分析的结果,但是仍然没有Lagrange乘子的定量的收敛性分析与近似解的残量范数的收敛性分析的相关结果.特别地,这四个量中唯一可计算的近似解的残量范数的收敛性
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信赖域子问题（TRS）的求解在数值优化和其它许多应用中起着至关重要的作用.广义Lanczos信赖域（GLTR）方法是求解大规模信赖域子问题的经典方法.然而,GLTR方法的收敛性分析理论至今仍然很不完善,虽然目前有一些近似目标值和近似解的收敛性分析的结果,但是仍然没有Lagrange乘子的定量的收敛性分析与近似解的残量范数的收敛性分析的相关结果.特别地,这四个量中唯一可计算的近似解的残量范数的收敛性分析在理论和实践中都具有非常重要的意义.本文对GLTR方法中Lagrange乘子,近似目标值,近似解及其残量范数进行了收敛性分析,证明这四个量的先验误差界是密切相关的.除此之外,我们发现可以由可计算的近似解的残量范数来估计其它三个无法直接计算的误差.数值实验的结果证实了我们给出的先验误差界是可靠的,并且可以精确地预测Lagrange乘子,近似目标值,近似解及其残量范数的收敛速度.另一方面,求解TRS等价于求解一个2n阶矩阵的最右端特征对,进而有着形式简单等优点的基于特征值的算法在近几年发展快速.自然地,我们想要比较基于特征值的算法与GLTR算法的效率.为了公平地比较这两种算法的效率,一个非常重要的前提是它们必须以（几乎）相同的精度计算TRS的近似解,但这一前提在当前的相关文献中被忽视了.为此,本文建立了这两种算法的残量范数的关系式,进而我们可以先设置基于特征值的算法的精度,再根据关系式确定GLTR算法的精度,以确保这两种算法求出的收敛的近似解有着相似的精度.最后,我们考虑TRS的扰动分析问题.毫无疑问,TRS的扰动分析对于TRS的研究有着非常重要的意义.但是,直接研究TRS的扰动分析是十分困难的,一直以来也并没有关于TRS的扰动分析的结果.本文分别从线性方程组的扰动分析和特征值的扰动分析的角度建立了解在信赖域内部的TRS和解在信赖域边界的TRS的Lagrange乘子,解,最优目标值,以及残量范数的扰动界限.
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