二维Burgers方程的有限元数值解法

• 作 者: 魏云云
• 出 处: 长安大学
• 发表日期: 2016年01期
• 关键词: Burgers方程 算子分裂法 LDG方法 惩罚形式间断有限元法

有限元方法是求解偏微分方程的一类重要的且十分有效的数值方法。有限元方法是R.Courant于1943年首次提出,其数学思想是泛函变分原理或者是方程余量与权函数正交化原理。随着计算机的广泛应用和发展,有限元方法获得了相当迅速地发展并应用到很多领域中,如航空技术领域、制造业、建筑业以及医学领域等。Burgers方程也称非线性对流扩散方程,是Navier-Stokes方程一个简化的数学模型,已经广泛应用于模拟各种流体的湍流现象中。对于给定的带有初边值条件的Burgers方程,随着时间的推移常常伴有激波现象的产生,这正是模拟Burger方程的困难之处。因此,研究Burgers方程高效的数值计算方法具有重要的理论意义和应用价值。本文主要研究了非线性Burgers方程的有限元数值解法,且进行了相应的稳定性分析。文章首先介绍了Burgers方程研究的背景和意义以及Burgers方程的研究现状;其次,简单地介绍文中所用到的有限元数值方法的发展情况,为下面的研究做铺垫。本文的主要工作如下:(1)讨论了求解二维Burgers方程的算子分裂的有限元方法,算子分裂法将Burgers方程分裂成纯对流子方程和扩散子方程。首先讨论了Burgers方程的算子分裂间断有限元方法,给出了格式的构造以及解的存在唯一性证明。其次,我们给出了求解Burgers方程的一种算子分裂的半隐数值方法,分别给该方法的单步格式和多步算法格式,通过数值算例呈现了该格式的稳定性、收敛性。(2)介绍了求解Burgers方程的局部间断有限元方法(LDG),基于Hopf-Cole变换将二维Burgers方程转化为线性的满足Neumann边界条件的扩散方程,利用LDG有限元法求解扩散方程。其次,对于该算法我们进行了稳定性分析以及误差分析。(3)从抛物型方程惩罚形式的间断有限元方法出发,通过抛物型方程惩罚形式的间断有限元算法得到Burgers方程惩罚形式的有限元方法。建立了Burgers方程惩罚形式的间断有限元格式,且给出了该方法的误差估计以及稳定性分析。