【摘 要】
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表示体元是联系材料从细观非均匀性到宏观均匀性的桥梁。在细观上，它具有真实的材料微结构和细观组分；在宏观上，它表征了材料的整体性质。然而，到目前为止，对绝大多数非均匀的工程
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表示体元是联系材料从细观非均匀性到宏观均匀性的桥梁。在细观上，它具有真实的材料微结构和细观组分；在宏观上，它表征了材料的整体性质。然而，到目前为止，对绝大多数非均匀的工程材料，其表示体元的最小尺度还鲜有定量研究，尤其是随着微机电系统的迅猛发展，物理元器件的尺度越来越小，由此带来的是传统的连续介质模型还是否适用的问题。这表明了研究非均匀材料表示体元最小尺度的必要性和紧迫性。
本学位论文针对一类典型的非均匀材料——多晶材料，利用有限元方法定量研究了二维情况和三维情况下的多晶材料关于弹性性质的表示体元的最小尺度问题。并探讨了不同定义的各向异性度量之间的关系。主要成果如下：
(1)提出了名义模量的概念并以此给出了一个新的表示体元定义，在此基础上发展了一套确定表示体元最小尺度的算法。实践证明，提出的定义和算法相当简单高效，从而得以第一次实现了针对大量不同的多晶材料进行表示体元最小尺度的数值模拟。
(2)数值模拟了二维和三维立方多晶材料表示体元最小尺度与其组成单晶的各向异性程度之间的定量关系。数值结果揭示：
1)二维四方多晶材料关于剪切模量(以及杨氏模量)的表示体元最小尺度与四方单晶各向异性程度之间呈现粗糙的线性关系；在给定5％的最大允许误差范围内，其最大的表示体元最小尺度在25倍晶粒平均尺寸之下；
2)负各向同性泊松比是导致表示体元最小尺度与各向异性程度关系产生发散的主要因素；
3)三维立方多晶材料具有出人意料小的表示体元最小尺度；在给定的5％的最大允许误差范围内，其最大的表示体元最小尺度在5倍的晶粒平均尺寸之下。
(3)首次数值发现了某些不同定义的各向异性度量之间存在简单的关系，应用不同定义的各向异性度量研究了二维四方多晶材料表示体元的最小尺度问题，初步给出了数据发散的原因。
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