薄壁量子化方法及其在褶皱圆环中的应用

• 作 者: 程润
• 出 处: 南京大学
• 发表日期: 2021年04期
• 关键词: 薄壁量子化方法 几何势 褶皱圆环

平面弯曲会使得平面上的几何图形发生一定的变化,会导致曲面上粒子的运动与在平面上的运动有明显的不同。对于研究约束在二维超曲面上的粒子的运动,薄壁量子化方法,又称为限制势方法(confining potential approach),是行之有效的研究方法。薄壁量子化方法是通过引入压缩势,使得粒子被垂直于低维流形的力限制,从而使得粒子只能沿着低维流形的切向运动。该方法在分离法向和切向运动的同时,尽可能的保留了低维流形的几何性质对切向运动的影响。在本文的第二章,我们系统的研究了薄壁量子化方法的基本思想和计算框架。我们通过回顾微分几何的相关知识和概念,给出了定义在三维空间上的二维系统的动力学方程。利用薄壁化方法,通过引入压缩势,将粒子的原动力学方程解析地分离为法向薛定谔方程和等效面薛定谔方程。基于薄壁量子化方法,我们归纳出相应的计算步骤。此外,我们还给出了具体示例,选取呈圆柱形对称的表面,应用薄壁化方法,得到了该模型的几何势。在第三章,基于薄壁量子化方法,我们给出了褶皱圆环面上运动粒子的等效薛定谔方程,发现几何势受褶皱影响显著。表现为,褶皱使得几何势阱的深度不同,这一结果与褶皱纳米管几何势有着显著的差别,尤其是在褶皱圆环的内侧,影响最大。根据传输矩阵法,我们计算了粒子的透射率,发现由褶皱所重构的几何势对于电子输运的影响显著。表现为,褶皱的出现使得在电子透射率中出现共振隧穿峰,而且传输带隙被拓宽。我们在本章节中选取的研究对象是四分之一褶皱圆环,研究结果表明,其不仅可以用于连接两个在不同方向上具有不同半径的纳米管,也可以用于筛选具有特定入射能量的粒子,在实际应用领域,可利用其特性来设计一些特定结构的量子电子和光子器件。在第四章,我们所研究的是褶皱圆环线上所呈现的力学性质。基于上一章节,在褶皱圆环面上运动的电子受褶皱的影响显著,又因为褶皱圆环面这个二维(2D)约束系统,可以解析地分离为两个一维(1D)量子部分:褶皱圆环线部分和轴部分,而由褶皱诱导的几何势对电子动力学的影响集中反映在褶皱圆环线部分。故在这一章节,我们聚焦于褶皱圆环线所呈现的力学性质。我们计算了无相互作用电子的本征能量和本征态。我们发现,相邻本征态之间的跃迁能可以通过增加褶皱的个数和振幅来提升。此外,我们基于圆环的波函数计算了粒子相应的能级和能量值,值得注意的是,相邻本征态间的能带中所能容纳的圆环能级个数和褶皱个数相同。而且,褶皱的振幅越大,对应的束缚态的个数也将随之增多。另外,褶皱重构了基态波函数的密度,并产生了相应的几何能移。