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数学理解已经成为继“问题解决”之后国际数学教育界关心的又一中心话题,是数学教育研究与实践的焦点。导数在世界各地都已成为高中课程的教学内容,大多数国家都将其作为高中选修课程,这也是世界性的方向。学生理解导数的规律特征、导数课程的定位、教学内容的选取、教学策略的确定以及如何培养高层次数学思维等方面的问题,都备受国内外数学教育工作者的关注。综观国内外对导数理解的相关研究,大多都是重思辨而轻实证,实证研究相对滞后于课程发展。因此,对导数教与学的实证研究是必要且适时的。本文采用实证研究与质性研究相结合的方法对导数的教与学进行研究,主要研究工作是:建立了导数理解水平的测查工具;利用SOLO分类原理进行导数理解评价,构建了数学理解的层次性模型;运用统计方法分析了学生对导数的理解及其发展规律,探寻出学生理解导数的特征;分析了教师变量对学生学习导数的影响。本文旨在揭示出导数学习与教学的规律,为微积分研究与教学提供新的发展方向和新的视野,为我国的高中数学课程改革提供理论与实践的双重支撑。本文的主要结论:一、学生对导数理解的规律大一与高三学生对导数的复杂计算、导数形式化概念的理解、导数的应用、图形操作等问题存在显著性差异,大一学生的理解水平高于高三学生;大一与高三学生对平均变化率、瞬时变化率、导数的简单计算、导数的物理意义、几何意义以及利用导数研究简单的函数性质等不存在显著性差异;学生利用导数进行问题解决的能力随着年级的增加而增强;大四学生只在导数形式化意义理解和简单优化问题上与大一学生有显著性差异;学生对导数的理解在总体上存在一定的不平衡性,从总体上来看,学生对导数的理解并不一定随着年龄的增长而自然提高,三个年级学生对导数的理解真正发生递增变化的是操作技能与建模能力。实证发现:高中阶段开设导数课程具有合理性;高中导数概念的教学应以直观导数为主,不适宜形式化导数概念教学;瞬时速度是学生理解导数概念的经验基础,是实施导数概念教学的有效“平台”;高中阶段适合利用物理背景讲授导数,而不适合通过形式化的极限和连续概念进行导数教学;只有通过大学阶段的长期教学才能使学生深刻理解导数的形式化意义和极限的概念。二、学生对导数理解的主要特征1、高三学生理解导数的主要特征:学生对导数的理解水平在各维度上的发展并不均衡;对导数的理解水平还停留在直观导数阶段,离形式化的抽象阶段还存在一定差距;学生对导数的解释存在一定的困难;学生实际运用导数进行问题解决的能力不均衡,学生归纳推理能力薄弱,学生从具体到抽象的过渡有一定的困难。2、性别、问题背景、表征方式影响学生对导数的理解;从数学能力角度看,学生利用导数进行问题解决时,在不同任务上的表现不均衡。3、学生的认知发展特征:高三学生思维的过渡性特征明显,学生认知发展处于双重阶段,即具体运算向形式运算过渡阶段与真正掌握形式运算阶段。高三学生处于形式运算的发展期,大一学生处于形式运算的成熟期;高三学生的辩证逻辑思维处于转折期,表现出“飞跃”、“两极分化”,是发展的关键期;大一学生则趋向定型,处于成熟期。可见,高中课程中导数内容的选择不适合以讲授知识的广度来划分,建议根据学生的思维发展特点和认知规律来划分。三、学生对导数理解的智力建构与教师影响因素1、导数概念的形成沿着两条主要路线:一是平均变化率、瞬时变化率、增量比、极限等概念的复合,抽象概括出导数的形式化定义;二是形成“潜在概念”,从物理背景中抽象出导数概念的本质属性。通过有目标的创造性活动——问题解决来进行导数概念的“数学化”建构,通过视觉表征和动作表征形成导数概念。2、两类教师对导数知识的理解不存在显著性差异,但教师对切线的本质理解和运算解释上存在一定问题。教师对导数的理解影响学生对导数的理解水平,但没有达到显著性水平。