【摘 要】
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二阶非线性常微分方程初值问题作为一类重要的数学模型,来源于天体力学、量子力学、电子学和生态学等学科,它在科学和工程计算的众多领域具有非常广泛的应用.此外,通常的二阶波动方程经过适当的空间半离散后也会导致二阶常微分方程初值系统.因此,对二阶常微分方程初值问题的数值方法展开研究具有重要的理论价值和实际意义.本文将主要考虑二阶非线性常微分方程初值问题的Legendre谱配置法及其在波动方程中的应用,具体
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二阶非线性常微分方程初值问题作为一类重要的数学模型,来源于天体力学、量子力学、电子学和生态学等学科,它在科学和工程计算的众多领域具有非常广泛的应用.此外,通常的二阶波动方程经过适当的空间半离散后也会导致二阶常微分方程初值系统.因此,对二阶常微分方程初值问题的数值方法展开研究具有重要的理论价值和实际意义.本文将主要考虑二阶非线性常微分方程初值问题的Legendre谱配置法及其在波动方程中的应用,具体如下:一方面,我们首先针对一类二阶非线性常微分方程初值问题,基于Legendre-Gauss-Radau点提出了一种单区间谱配置格式,利用Legendre展开设计了相应的快速高效迭代算法,并在此基础上设计了多区间谱配置格式.其次,我们严格证明了单区间谱配置法在各种范数意义下的误差估计.最后,我们通过一系列数值算例展示了Legendre谱配置法的高精度.特别地,数值结果表明,多区间Legendre谱配置法能够高效处理振荡解、奇性解和长时间计算问题.另一方面,我们考虑了一类二阶非线性发展型方程,将上述Legendre谱配置法应用于时间方向的离散,与空间方向的Legendre-Gauss-Lobatto谱配置法有机结合起来,从而构造了时空双高精度的谱配置全离散逼近.我们以两类典型的非线性波动方程,即Sine-Gorden方程和Klein-Gorden方程为例,数值结果表明该方法在时间和空间方向均具有高精度,且长时间计算稳定.
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表面增强拉曼散射(Surface Enhanced Raman Scattering,SERS)光谱在生物学应用中具有很大的潜力。近红外光激发的SERS光谱在生物组织样品分析中具有很多优势:生物组织在红外波长范围内相对透明,且能有效的避免生物环境复杂条件下的背景荧光,并且可以同时限制光漂白。红外激光激发的SERS光谱虽然在生物学应用中具有很大的潜力,因此开发出具有近红外活性的SERS基底是非常必要
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