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拓扑绝缘体是凝聚态物理学发展过程中出现的又一新的物质态，在其体能隙中存在受拓扑保护的边缘态（表面态），可以不受杂质和表面无序的影响，因而非常稳定。其中二维情形下的拓扑绝缘体，也被称为量子自旋霍尔效应，可以看做是量子霍尔效应的一种推广。在一个时间反演对称的量子自旋霍尔体系中，同一边缘上两个相向运动的边缘态自旋极化处处相反，因而任何非磁杂质散射无法导致两个边缘态之间的背散射，确保了边缘态输运的无耗散特性，这种拓扑保护源自于材料的时间反演对称性。拓扑不变量将具有量子自旋霍尔效应的绝缘体和普通的绝缘体区分开来。 石墨烯由六角晶格的单层碳原子排列而成，是第一个被提出具有时间反演对称性的量子自旋霍尔态的系统，石墨烯可以通过叠加或卷曲构成其他立体的石墨结构。从能带关系上来看，单层石墨烯有两个简并的不等价狄拉克锥，在狄拉克点附近的电子由狄拉克方程来描述，性质上类似于无质量的相对论性狄拉克粒子，因而石墨烯的出现使得相对论量子力学不再仅局限于宇宙学或高能物理领域，引起众多科学家的兴趣。在外加周期性势场的作用下，石墨烯可以形成超晶格结构，并导致低能电荷载流子的群速度发生各向异性，极限情况下群速度可以在某方向减小为零，而在其它方向保持不变。最近还发现超晶格石墨烯的电子能带结构中形成了新的次级狄拉克点，这些次级狄拉克费米子附近有着不同的朗道能级特性和量子霍尔效应。本论文包括以下内容: 在第一章中，介绍了霍尔效应家族的发展历程，重点关注了近年来拓扑绝缘体的基本概念和理论，从贝里相位的角度分析了拓扑材料的拓扑几何意义。关注了石墨烯材料在凝聚态物理中的应用，描述了超晶格石墨烯的性质和最新实验成果。最后，介绍了本论文的研究内容和意义。 在第二章中，计算了石墨烯超晶格的颤动效应，由于超晶格势的作用，石墨烯的能带结构发生变化，导致在原有狄拉克点上方出现次级狄拉克点，这些新生的次级狄拉克点跟原来的狄拉克点相比，主要差别在于色散关系的各向异性，其靠近狄拉克点的群速度是具有高度各向异性的，与普通狄拉克点附近电子的群速度(vf)相比，沿超晶格方向群速度保持不变（vfx=vf）而垂直于超晶格方向的群速度则可以变得非常小vf（vfy(《)vf）。这种各向异性的群速度可以通过调节周期性超晶格势的电势大小决定。非常容易想到，这种群速度的各向异性也导致了能隙的各向异性:2(h)vf√k2x+k2y（vfy/vf）2，正是因为该项中的vfy/vf《1，可以得到在ky方向上的能隙是最小的，也正是因为如此，该方向的颤动效应的频率可以被有效的减小。在超晶格势的调节下，次级狄拉克点附近电子的颤动可以有更大的振幅以及更小的振动频率这为颤动效应在当前实验环境下的观测给出了理论支持。 在第三章中，用数值方法研究了拓扑绝缘体薄膜体系在外加垂直磁场作用下其边缘态的性质磁场的加入通过耦合k+eA，即Peierls势替换关系和该作用导致的Zeeman交换场体现在哈密顿量中。考虑窄条圆环状结构的二维InAs/GaSb/AlSb薄膜量子阱材料，当其处于拓扑非平庸状态，即量子自旋霍尔态时，会出现受时间反演对称性保护的两支简并边缘态，而在垂直磁场的作用下，时间反演对称性被破坏，这时能带将形成一条条的朗道能级，原来简并的两支边缘态也会分开到朗道能级谱线的两侧，从电子态密度的空间分布情况则可以看到边缘态分别局域在材料的两个边界.随着磁场的增大，位于同一边界上的不同自旋极化的边缘态将出现分离:一支仍然局域在边缘，另一支则随外加磁场的增加而有逐渐演化到材料内部的趋势。文中还计算了同一边界上的两支边缘态之间的散射，结果表明由于两个边缘态在空间发生分离，相互之间的散射被很大的压制，得到了其散射随磁场增加没有明显变化的结论，所以磁场并不会增强散射过程，也没有破坏体拓扑材料的性质，说明了量子自旋霍尔态在没有时间反演对称的情况下也可以有较强的稳定性。 第四章中，通过计算自旋谱隙（投影算符PSzP的能谱）的函数，得到了拓扑绝缘体薄膜在破坏结构U(1)对称及时间反演对称性情况下的相图，结果表明较强的结构反演不对称会破坏量子自旋霍尔态，在一个临界点会发生拓扑平庸和非平庸态的量子相变，并伴随能隙的关闭再打开，而在时间反演对称破坏的系统，这一能隙闭合的临界点会消失。反过来，磁场是破坏时间反演对称的项，磁场的增大会导致系统发生拓扑相变并伴随能隙闭合，但是在结构U(1)对称破坏的情况下，能隙也不再闭合。进而，我们研究了同时存在体不对称和垂直磁场的量子自旋霍尔系统的相变，前者破坏系统的U(1)对称性，后者破坏时间反演对称性，在两种对称性都被破坏的情况下，发现系统存在着由自旋谱的闭合来加以区分的不同相。通过调节体不对称和磁场大小，这些相变都伴随有自旋谱能隙的闭合，但这一过程并不会再出现能带的关闭，这一研究丰富了对二维拓扑绝缘体相变的分类。 在本文的最后一章，我们做了一个简单的总结和展望。