【摘 要】
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自然界大多数现象的本质都可以由非线性方程所描述，因此解决非线性问题对于了解真实世界起着至关重要的作用，尤其是在工程问题和物理应用上受到广泛关注。通常这类方程很难得到
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自然界大多数现象的本质都可以由非线性方程所描述，因此解决非线性问题对于了解真实世界起着至关重要的作用，尤其是在工程问题和物理应用上受到广泛关注。通常这类方程很难得到解析解，或者在实际应用中根本不需要求出其解析解，所以求解其数值解就变得非常重要且具有实际的应用价值。在本文中，我们给出了两类非线性方程的数值解法。 牛顿法是非常有效的方法，很多研究者应用这种方法已经取得了很大的成果。本文中，我们引进和提出一种新的有效的迭代方法，分片牛顿法。该方法是牛顿法的改进和优化。分片牛顿法的基本思想是将区间[0, T]平均的分成一些子区间，并且在每个小区间上应用牛顿迭代法。该算法严格的收敛性证明和近似解的误差估计已经给出。 本文的第一部分是用分片牛顿法求解非线性振子微分方程。值得注意的是，当方程是强非线性振子方程的时候我们的方法仍然有效，而之前提出的很多方法只针对弱的振子方程。除此之外，对于较长区间的模型我们的方法比传统的牛顿法更有效。文章的最后，用四个算例来说明该方法的有效性。 本文的第二部分给出了带有弱奇异核的二阶 Volterra积分方程的分片牛顿解法。实际上，分片牛顿法具有二阶收敛速度，并且比牛顿法更有效，主要体现在当牛顿法发散时，分片后的牛顿法仍然有很好的数值结果。最后，给出一些数值算例来证明该技术的实用性与有效性。
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