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退化抛物方程（组）作为金融数学、物理学、信息科学、工程学等领域所研究问题的数学模型，理论尚不完善，是当前偏微分方程领域关注的热点和难点问题之一。双曲空间具有常负截面曲率，是典型的完备黎曼流形，其几何结构与欧氏空间有本质区别。双曲空间被赋予Poincaré度量后，等价于以原点为球心的单位球，且其上的Laplace-Beltrami算子在单位球面上是退化的。 本论文研究一类半线性退化抛物方程（组）解的爆破性和不存在性，一类双曲空间中半线性抛物方程（组）解的整体存在性、有限时刻爆破和微分Harnack估计。首先，在欧氏空间中，考虑一类半线性退化抛物方程（组）的初边值问题及初值问题，证明光滑解空间导数的爆破性及非平凡弱解的不存在性。其次，在双曲空间中，讨论一类半线性抛物方程（组）解的整体存在性与解在有限时刻爆破。最后，得到双曲空间中半线性抛物方程的微分Harnack估计。论文分三部分，具体内容如下。 第一部分，首先讨论关于半线性退化抛物方程uxx+uuy-ut=f(u)的初边值问题、初值问题。在一定条件下，应用能量方法和选取恰当的截断函数，证明初边值问题光滑解的空间导数在有限时刻爆破和初值问题经典解的爆破性及非平凡弱解的不存在性，进一步利用数值试验验证光滑解的爆破现象。最后，利用尺度变换和选取合适截断函数，证明一类退化抛物方程组非平凡弱解的不存在性。 第二部分主要考虑双曲空间Hn中的时间加权的半线性抛物方程组{ ut=ΔHnu+eαtvp，(x,t)∈Hn×（0，T），vt=ΔHnv+eβtuq,(x,t)∈Hn×（0，T），u(x，0)=u0(x)， v(x，0)=v0(x)， x∈Hn，其中p，q，α，β∈R+，u0(x)，v0（x)≥0，Hn是n-维双曲空间，ΔHn是双曲空间Hn上的Laplace-Beltrami算子。由于双曲空间的几何结构有别于欧氏空间，从而使得热核在长时间的行为不同于欧氏情形。双曲空间中的Laplace-Beltrami算子本质上是退化的，其几何结构给我们的证明造成了本质的困难。为了克服困难，通过对双曲空间中热核的估计和借助双曲空间中的椭圆方程的理论，来开展我们的讨论。 首先应用比较原理，双曲空间中热核的估计及构造上下解的方法，得到方程组解的整体存在性与有限时刻爆破性，即Fujita型结果。接着，考虑变指数的半线性抛物方程组解的有限时刻爆破性。最后，应用上下解方法及双曲空间中热核的估计，得到一类半线性抛物方程解的整体存在与有限时刻爆破。 论文的第三部分主要构造目标函数并利用极值原理，获得双曲空间中半线性抛物方程的微分Harnack估计。作为应用，我们利用微分Harnack不等式得到经典Harnack不等式并证明这个方程解的爆破性。