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本文研究了几类竞争Lotka-Volterra系统的动力学性态:如平衡点的存在性和稳定性,周期轨的存在性以及不变环面的存在性等；并讨论了各类分岔现象:如Hopf分岔,同宿分岔,倍周期分岔,Fold-Hopf分岔以及Turing分岔。利用理论分析与数值模拟相结合的方法,我们发现某些竞争Lotka-Volterra系统会出现复杂动力学现象。具体地,我们做了以下的研究工作。
一、我们研究了一般四维竞争Lotka-Volterra系统发生Hopf分岔的条件。并对一类四维竞争Lotka-Volterra系统,我们给出系统经历Hopf分岔产生稳定周期轨的参数值；当参数越过Hopf分岔值增加时,数值模拟发现这个稳定的周期轨经历倍周期分岔。而当参数等于另一个参数值时,系统发生Shilnikov意义下同宿分岔；当参数越过同宿分岔值减少时,数值模拟观察到系统有无穷多个周期轨,计算最大李雅普诺夫指数发现其值大于零。这类四维竞争Lotka-Volterra系统的复杂动力学行为说明S.Smale在文献[84]中关于高维竞争系统能出复杂动力学的结论在最简单的四维竞争Lotka-Volterra系统中都能实现。这是本论文第二章的主要研究内容。
二、对一类具有不变超平面的四维竞争Lotka-Volterra系统,我们研究了它的各类可能存在的平衡点以及其线性稳定性；并讨论了限制在这个不变超平面上的Lotka-Volterra系统的动力学性态。而对这类系统中具有无穷多正平衡点的四维竞争Lotka-Volterra系统,我们进行了分岔分析:研究了Fold-Hopf分岔,借助正规形理论,通过一系列的Cr拓扑变换和吹膨技巧,得到存在参数值,使得该系统有不变环面,并举实例和进行数值模拟。
三、对于两地间存在交叉迁移的三维竞争Lotka-Volterra系统,我们分别研究了它经历Taring分岔和Hopf分岔的条件；还讨论了两地间存在交叉迁移的三维竞争Lotka-Volterra系统的正平衡点的线性稳定性发生改变的各种临界条件；并分别给出了实例和数值模拟。我们的研究结果证明了交叉迁移是一个不容忽略的因素,它能使系统经历Turing分岔、Hopf分岔等。通过一个具体的实例和数值模拟,我们还得到如下结论:能在两地间存在交叉迁移的二维竞争Lotka-Volterra系统中引起Taring分岔的充分条件并不一定能在两地间存在交叉迁移的三维竞争Lotka-Volterra系统引起Taring分岔。