论文部分内容阅读
Alexandrov几何，由于被Perelman应用于证明Poincare猜测，受到了国际数学界的广泛关注。传统的Alexandrov几何研究手段属于比较几何的范畴，而现代微分几何中的几何分析分支，是用光滑流形上的函数论研究其几何与拓扑性质。在我们的这份报告中，将在Alexandrov几何中发展分析理论，拟系统的用分析手段研究Alexandrov空间的几何性质。我们主要包含以下两个部分。
(1)在微分几何中，几何分析的开端是丘成桐证明了光滑流形上调和函数的梯度估计。Alexandrov空间是非光滑的度量空间，发展其几何分析，首先需要解决的问题是如何建立调和函数的梯度估计。我们的这份报告中提供了一个Alexandrov空间上调和函数的丘成桐梯度估计的证明。
(2) Lichnerowicz-Obata定理是黎曼几何的一个基本结果:n维Ricci曲率大于等于n-1的流形有第一特征值≥n，等号成立当且仅当这个流形是标准球面。对于非光滑的度量空间，Lott-Villani证明了相应Lichnerowicz估计，留下一个开问题:什么样的度量空间使上述不等式等号成立？我们在此报告中就Alexandrov空间回答了这个问题:n维Ricci曲率大于等于n-1的Alexandrov空间，上述等号成立当且仅当其为一个球面suspension。