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偏微分方程约束的最优控制问题的数值计算是科学与工程计算的重要研究领域,在材料设计、工程设计、航空航天和一些不适定问题的计算等方面有广泛的应用。因此,如何准确高效的求解这类问题是计算科学工作者需要解决的重要课题。
本文主要探讨了三类问题:Dirichlet边界控制问题、具有逐点状态观测的控制问题和一类椭圆方程Cauchy问题。
在第一部分,我们使用Nitsche提出的一种处理椭圆方程Dirichlet边值问题的加罚方法求解Dirichlet边界控制问题。由于Dirichlet边界条件的非变分形式,这类问题的理论分析与数值计算都较Neumann边界控制问题复杂。使用Nitsche的加罚方法能够让Dirichlet边界条件自然地进入方程的变分形式,我们可以使用已有的分布控制问题的研究方法来分析Dirichlet边界控制问题,而不需要对边界条件做特殊处理。另外,这种加罚满足相容性和伴随相容性使得该方法不引入相容性误差。Nitsche给出了椭圆方程这种加罚方法有限元逼近的L2模和H1模误差估计,这对于我们分析控制问题是不够的。因此,在这一部分的最后一节,我们深入讨论了这种方法的误差分析,得到了Lp模以及Wl,p叫莫误差估计。有了这些结果,我们得到了凸多边形或多面体区域上问题的最优误差估计。我们对新格式进行了数值试验,取得了比较好的计算结果。
在第二部分,我们考虑了一类状态逐点观测最优控制问题的数值方法。在一些智能材料的传感器设计中,分布式传感器不适用,需要设计点态式传感器。这些压电传感器分布在一些确定的点,以测量这些位置温度、应变或者压力的值,这称为逐点观测。我们希望用最小的控制代价使得观测值尽可能的接近目标值。逐点观测导致控制变量和伴随状态变量具有较低的正则性,它们仅属于Wl,p(Ω),1≤p＜d/d-1。我们给出了控制问题解的正则性结果,并用协调有限元离散控制问题,得到了该问题有限元逼近的先验误差估计和后验误差估计。最后的数值结果很好的验证了我们的理论分析。
在第三部分,我们用最优控制的方法研究了椭圆方程Cauchy问题。这类问题是一个典型的不适定问题。定解区域的边界分为两个互不相交且非空的部分,在其中的一部分边界同时给出Dirichlet和Neumann边界条件,我们需要确定出方程在另一部分的边值进而求得该方程的解。通过把未知边界上的边值作为优化变量可以把这个问题转化为偏微分方程约束的优化问题,利用最优控制问题的理论分析问题的收敛性。在现有的文献中,用控制方法求解这类问题都是在经典弱解意义(即Dirichlet边界在H1/2(Γ)中)下进行的。由于状态变量涉及到两个方程,使得计算代价比较大,理论分析也不甚直观。通过把椭圆方程未知边界的Dirichlet边值作为控制量,我们把Cauchy问题转化为偏微分方程约束的优化问题,其中作为状态方程的椭圆方程Dirichlet边值问题在极弱解的意义下定义。我们的新格式只涉及到一个状态方程,极大地简化了计算量。我们对原问题和转化得到的优化问题之间的等价性以及新格式有限元逼近的收敛性做了理论分析。最后取得了比较理想的数值结果。