论文部分内容阅读
非线性振动理论是非线性科学的一个重要研究内容，对于弱非线性常微分方程控制的动力系统已经有了许多求近似解的方法，如多尺度法、KBM法、平均法等等。近年来，人们对强非线性问题的研究产生了浓厚的兴趣。对于强非线性系统，由于非线性项相对于线性项不再是小量，所以传统的摄动方法往往不能直接应用来研究强非线性系统。目前主要的近似求解方法有改进L-P方法、频率增量法、改进的谐波平衡法、频闪法等等。由于求解偏微分方程对于力学的发展起了很重要的作用，求解偏微方程特别是非线性偏微分方程引起了很多力学工作者的注意。目前对于直接求解非线性偏微分方程的方法还比较少，主要方法还是用Galerkin截断将偏微分方程转化为在时域上的常微分方程，然后进行求解。本文主要是对求非线性偏微分方程的渐近解进行研究，进一步丰富了非线性理论的内容，拓宽了求解强非线性问题的一些方法的应用范围。主要研究内容如下：第一章综述了非线性动力学研究的历史和现状，并扼要介绍了本文的工作和主要创新点。第二章首先将坐标摄动思想和参数变换思想结合起来求出Klein-Gordon方程的行波解，再将改进L-P方法直接应用到求解Klein-Gordon方程的直接渐近解，最后用多尺度法讨论了其稳定性。第三章主要对小参数在高阶项的偏微分方程进行讨论，也就是一般意义上的边界层问题。第四章讨论了一个受轴向简谐激励作用下的非线性梁的运动，运用传统的Galerkin法得出时域上的动力系统，再对该系统弱、强非线性情况下的分叉进行了研究。