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本文由两大部分组成:
第一部分研究了一些粘性双曲平衡律方程组的解的粘性极限问题.首先,针对一维等熵可压缩Navier-Stokes方程关于稀疏波的零耗散极限问题,发现了一种新的尺度变换使得收敛速率从以前的ε1/4|lnε|提高到ε1/3|lnε|2.这种新的尺度变换的创新点在于不仅能够提高低阶能量估计,而且也能提高高阶能量估计,并使得二者具有同样的收敛速率.这一结果改进了辛周平教授在1993年关于此类问题的一篇著名文章中的结果(ε1/4|lnε|).同时,对于非等熵Navier-Stokes方程,利用此方法同样能够得到ε1/3|lnε|2的收敛速率.其次,我们还研究了Boltzmann方程当Knudsen数ε趋于零时的极限问题.由于微观项的存在,对Boltzmann方程的分析往往要比可压缩Navier-Stokes方程更加困难.如果同样考虑稀疏波的情况,此前得到的收敛速率比可压缩Navier-Stokes方程低.之前最好的结果为ε1/5|lnε|.本文利用处理Navier-Stokes方程的尺度变换,对Boltzmann方程同样能够得到ε1/3|lnε|2的收敛速率。最后,我们将这种新的方法运用到辐射气体模型中,考虑吸收系数α趋于无穷的极限问题,同样得到了α-1/3|lnα|2的收敛速率.
第二部分研究了与Hamilton-Jacobi方程相关的一些问题.首先,我们考察了在不要求初始值有界的情况下高维Hamilton-Jaeobi方程的特征面,解的可微性及奇异点集的整体结构.该结论去掉了以前对初始值有界性的要求,得到了与之类似的结论.进一步地,我们给出了特征曲面不包含奇异点的充分必要条件,同时也观察出在初始值无界时不包含奇异点的特征曲面不再是平行的.其次,我们研究了单个守恒律方程激波曲线在无穷远分支的渐近性状,把以前的非临界情形推广到了临界情形,发现在临界情况下激波的渐近线不再是D(√t)而是o(√t),并具体地给出了渐近线的表达公式.