【摘 要】
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框架是Riesz基的推广,具有规范正交基的某些性质,有着精细而丰富的结构。框架理论是近二十年发展起来的一个新的研究方向,是小波分析的一个组成部分。它已被广泛应用在数学、
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框架是Riesz基的推广,具有规范正交基的某些性质,有着精细而丰富的结构。框架理论是近二十年发展起来的一个新的研究方向,是小波分析的一个组成部分。它已被广泛应用在数学、物理学及工程技术等领域,尤其应用在信号处理、图像处理、数据压缩、抽样理论、地震勘探及通信工程方面。本文运用时频分析方法、算子理论、矩阵理论等对小波框架的构造与性质进行了研究。 首先,综述了框架理论的研究背景,框架理论的发展历程以及当前框架研究的方向,概述了框架的概念与性质,简要介绍了几种特殊框架。 其次,对于三维小波框架,提出了构造三维小波框架的酉扩张原理,通过引入周期化算子、酉算子等工具,运用逼近论思想证明了酉扩张原理,得到构造公式并给出了相应的构造算例。 运用滤波器理论、时频分析方法与算子理论,研究了高维小波框架的构造方法与性质,给出三维加细函数φ(x)生成Parseval小波框架的充分条件,在给定的三维加细函数φ(x)的情形下,给出对应的Parseval小波框架的显示构造公式。根据空间L2(R3)中的酉扩张原理,讨论了多小波框架的双正交性,多小波框架对应滤波器的双正交性与周期性。运用多小波框架的双正交性,提出了任意一个三维函数的重构算法。运用滤波器的双正交性,给出多小波框架的构造公式。
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