论文部分内容阅读
非局部边值问题是微分方程研究领域的一个重要分支,其主要来源于热传导、化学工程、热弹性力学和等离子物理。泛函微分方程能有效模拟这样一些复杂现象,系统中的一些量依赖于该量受之前已知量影响的情况。经常用来模拟的系统有经济系统、生理学系统、生理化学系统和生物系统,这些系统的变化率都依赖于过去的历史。因此,非局部边值问题和泛函微分方程这两类问题引起了各国学者的关注。然而,它们中的绝大部分都难以求得精确解,从而寻求求解它们的有效数值方法就引起了大量研究人员的兴趣。 再生核理论不仅在随机过程、线性方程组理论、算子理论、解析函数理论等数学领域具有重要的作用,而且在量子力学、信号分析、统计学习理论和图形恢复等应用领域同样重要。本论文主要讨论再生核理论的应用,特别关注在非局部边值问题和泛函微分方程这两类问题数值求解方法方面的应用。首先建立再生核空间的基本概念和理论,然后应用再生核空间理论的良好性质,提出求解非局部边值问题和泛函微分方程这两类问题的数值方法。本论文的主要研究内容概括如下: 分别给出构造满足三点边界条件和四点边界条件的再生核的方法,在此基础上,提出满足一般的线性非局部边界条件的再生核的构造方法。这一工作丰富和发展了再生核理论,并使得再生核理论在非局部边值问题上的应用成为可能。 基于再生核理论,讨论常微分方程非局部边值问题的求解方法。首先,提出求解线性三阶三点边值问题的三种方法:基于正交化的再生核方法、再生核配置法和辅助两点边界条件方法,介绍它们的优缺点,而且,这三种方法可以推广到更一般的线性非局部边值问题的求解。其次,提出求解非线性四阶四点边值问题的三种方法:逐次逼近法、AD-RK方法和迭代辅助两点边界条件方法,同样,这三种方法也可推广到更一般的非线性非局部边值问题的求解。对提出的每一种方法都提供了数值算例,以验证它的精度和有效性。 借助再生核理论,讨论求解分数阶非局部边值问题的数值方法。首先,结合基于正交化的再生核方法和高斯积分公式,提出一种求解两类分数阶常微分方程多点边值问题的新方法。其次,在分数阶常微分方程多点边值问题求解方法的基础上,提出一种求解空间分数阶偏微分方程的半离散型方法。最后通过数值算例来验证所提方法的精度和有效性。 据我们所知,已经出现的求解泛函微分方程的数值方法中,绝大部分都是离散型方法。我们将借助再生核理论的良好性质,讨论三类泛函微分方程的连续型求解方法。首先,借助同伦的思想和基于正交化的再生核方法,提出求解非线性中立型多比例延迟微分方程周期边值问题的新方法。同伦的思想用来处理非线性项,并把原非线性问题转化为一组线性中立型多比例延迟微分方程周期边值问题;然后用基于正交化的再生核方法来求解转化后的线性中立型多比例延迟微分方程周期边值问题。另外,该方法还引入一个参数来调节收敛区间。其次,提出求解具有分段连续项的延迟微分方程的分段再生核方法,通过该方法得到的解在整个求解区间上连续,这也是与现存的离散型方法不同的地方。最后,给出了求解奇异摄动多比例延迟微分方程边值问题的数值方法,将原问题转化成边界层问题和正则区间问题,结合渐近展开技术和再生核方法获得正则区间上的解,使用变量伸缩技术和再生核方法求解边界层区间上的解。通过数值算例来验证所提方法的精度和有效性。