【摘 要】
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变分不等式问题(VIP)是运筹学中一个十分重要的研究领域，在信号处理、图像重建、系统识别、自动控制等科学领域有广泛的应用。此问题自提出以来，受到了国内外许多专家学者的广
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变分不等式问题(VIP)是运筹学中一个十分重要的研究领域，在信号处理、图像重建、系统识别、自动控制等科学领域有广泛的应用。此问题自提出以来，受到了国内外许多专家学者的广泛关注，在理论与算法设计方面都取得了丰硕的成果，其中，投影算法是比较重要且具有代表性的一种算法。众所周知，若投影容易计算，则投影型算法不仅形式简单而且还实际有效，所占空间小，适合处理大规模问题。然而，在有些时候，精确计算到闭凸集上的正交投影是很麻烦的，有时甚至是不可能的，这样势必会影响算法的收敛速度。为了克服投影算法的这一缺点，Censor提出了次梯度外梯度投影算法，在一定程度上减少了算法的计算量。本文在此基础上，对次梯度外梯度投影算法进行了进一步的研究。全文共分三章。 第一章是绪论，主要介绍了变分不等式问题(VIP)的应用背景和研究现状，并简单介绍了本文的主要研究工作。 第二章，我们提出了两种求解变分不等式问题的类Armijo步长的次梯度外梯度投影算法及其不精确形式。Censcor为了克服到闭凸集上的正交投影难计算的问题，提出了一类用特殊结构的次梯度半空间来替代闭凸集的次梯度外梯度投影算法。在收敛性分析中，需要假设映射F是Lipschtiz连续的。为克服这一强的条件，我们对Censcor提出的次梯度外梯度算法进行改进，用类Armijo变步长来代替算法中的固定步长，收敛性不需要映射F是Lipschitz连续了，扩大了算法的使用范围。另外，还提出了对应算法的非精确形式，这种非精确形式算法的优点足：与原算法相比，能够得到更多的迭代点，使得迭代点的选择具有更大的灵活性。因此，在本章中提出算法是有一定意义和价值的。 第三章，给出了Censcor提出的双次梯度外梯度投影算法的收敛性证明。考虑到第二章中半空间构造的特殊性，Censcor提出了双次梯度外梯度投影算法，在该算法中，两次投影都向半空间上投。但遗憾的足，他没有得到该算法的收敛性结果，只证明了算法的迭代序列{xk}足有界的。在本章中，我们给出了该算法的全局收敛性证明，弥补了该算法的缺憾。
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