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对于非零整数A,B,Lucas序列{un}n≥0,定义如下：
u0=0,u1=1,un+1=Aun-Bun-1(n=1,2,3,…).
已知u1,u2,u3,…都非零除非A2=B=1.
对于n，k∈N={0，1，2，…}，如果[n]=∏nk=1uk≠0，定义Lucasu-组合数：
[nk]={[n]/[k][n-k]如果n≥k,0此外
A=2且B=1时，[nk]正是通常的组合数(nk).
更一般地，如果[n]j=∏nk=1ukj≠0，
定义[nk]j={[n]j/[k]j[n-k]j如果n≥k,0此外.
对于奇素数p，记r为p的下标秩，即p|ur但k∈{1，2，…，r-1}时p+uk.(已知p整除某个un(n＞0)，(A，B)=1且p+B时，p｜up-(Δ/p)，这儿Δ=A2-4B，(-)表示Legendre符号.)
著名的E.Lucas定理断言：若p是素数，a，b∈N，s，t∈{1，2，…，p-1}，则(ap+sbp+t)≡(ab)(st)(modp).
W.A.Kimball,W.A.Webb([1],[4])和B.Wilson([7])证明了几个关于Lucasu-组合数在A=-B=1情形下(此时{un}n∈N即为Fibonacci序列)的同余式.
2001年，胡宏和孙智伟([6])将Lucas定理与B.Wilson结果推广到了一般的二阶线性递归序列，证明了，如果(A,B)=1,且A≠±1或B≠1，那么[aq+sbq+t]≡(ab)[st]u(bq+t)(a-b)+b(s-t)q+1(modwq)，v其中a,b∈N,0≤s,t＜q,q是正整数，wq是uq最大的因子，且与u1,u2,……,uq-1互素.
在第一章里，我们将进一步研究Lucasu-组合数模p2，p3的同余式(其中p为奇素数)，主要结论如下：
结论1.设(A,B)=1,A≠±1或B≠1，素数p＞3且p+B.如果p的下标秩r=p±1(即r=p-(A2-4B/p))，那么对任意a，b∈N，有[arbr]≡(-1)(a-b)bB(a-b)b(r2)[ab]r(modp3).
结论2.设(A,B)=1,A≠±1或B≠1，素数p＞3且p+B.如果p的下标秩r=p±1(即r=p-(A2-4B/p))，那么对任意a，b∈N，0≤s，t＜r,有[ar+sbr+t]≡{(-1)t-s-1B-(t-s2)u(a-b)ru-1t-su(a-b)(t-1)-b(t-s)r+1[arbr][ts]-1(modp2)如果s＜t,uat+bs-2btr+1Sa,s/Sb,tSa-b,s-t[arbr][st](modp2)此外，其中Sk，n=1-kBur/ur+1∑nj=1uj-1/uj.而且，若pt△=A2-4B，则上式同余式中的[arbr]可以替代为(ur/2)(a-b)br(ab)，其中序列{un}n≥0定义如下：u0=2,u1=A,un+1=Aun-Vun-1(n=1,2,……).(上述两定理中的p＞3不能改成p≥3,因为p=3时存在反例.)
在第二章里，我们将Jacobsthal多项式和Jacobsthal-Lucas多项式推广到了更一般的二阶线性递归多项式{un(x)},{vn(x)}，研究了此多项式的积分序列Sn(x),Tn(x),给出了它们的封闭表示，利用广义调和数，对数列Sn(1),Tn(1)的性质作了较为全面的探讨.
在第三章里，我们将张文鹏等的结论([20])推广到了一般n阶线性递归序列{un(a1，a2，…，am)}n＞-m，这里un=un(a1,a2…,am),(n＞-m)定义如下：u-(m-1)=…=u-1=0,u0=1,un+a1un-1+…+amun-m=0(n=1,2,…),其中m≥2且am≠0.利用序列{un(a1x，a2，…，am)}n＞-m的生成函数和偏导数得到了更一般的结果：∑i0+i1+…+ik=nui0(a1，a2，…，am)ui1(a1，a2，…，am)…uik(a1,a2，…，am)=(-1)k∑k1+2k2+…+mkm=n+k(k1k)(k1+…+km)!/k1!…km!(-1)k1+…+kmak1-k1ak22…akmm.vi
在第四章里，利用二次剩余理论及Gauss和，证明了张建国([21])提出的关于三角函数有限和的猜想.