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文章的第一部分给出了Galois群的一个矩阵表示。我们可以认为扩张域就是基域上的线性空间，当这个域扩张是Galois扩张时，每个Galois作用可以看作上述线性空间的线性变换。因此寻找一组基，我们利用线性变换在基下的矩阵来描述Galois群的结构，特别地，当正规扩张存在一组正规基时，用这种方式表示Galois群的更加简单。进一步，我们针对本文的具体情况还给出了两组基之间的一个联系。
第二部分我们是通过代数的域论和模论来研究矩阵方程的解的问题，即判断一个矩阵方程在在域上是否有解。对于不同多项式g(x)，当n阶矩阵A的特征多项式为不可约的，我们给出了矩阵方程g(x)=A有解的判定定理；当A的特征多项式为可约的，把域F上的n维线性空间M作为由A导出的F[x] -模，我们利用模论知识来决定矩阵方程g(x)=A有解性，从而使这一问题变了简单，研究思路更加清晰。