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发表于1973年的Black-Scholes公式给金融经济学领域带来了一场巨大的革命。自此,随机分析的方法被广泛地应用于现代金融的各个领域,包括衍生品定价、利率期限结构理论、信用风险建模等等。
本论文致力于探讨Markov半群和半鞅特征在金融建模中的应用。具体而言,我们研究了基于Markov半群及其无穷小generator的衍生品定价理论与intensitybased信用风险模型,利用算子半群的扰动理论分析短期利率模型,并在半鞅的框架下,借助半鞅特征构造了一般化的HJM模型。
在市场具有Markov性的假设下,我们提出了一类定价测度和远期测度。然后,我们分别研究了基于定价半群和远期半群的衍生品定价理论,并从Markov半群的角度探讨了二者之间的关系。进一步,我们探索了即期generator和远期generator之间的关系,并推导出基于它们的衍生品定价方程。同时,我们考虑了基于两参数演变算子的定价方法,及其与半群定价之间的联系,并推导了基于演变算子的无穷小generatot的定价方程。
在intensity based信用风险模型中,我们引入违约定价半群和违约远期半群。进而,我们分别得到基于即期generator和违约远期generator的定价方程。
对一类跳跃-扩散过程,我们给出了vanilla期权和barrier期权的积分-微分定价方程。而且,我们提出了Asian期权和basket期权的LESN-近似定价方法。
Filipovie利用Markov半群的方法于2001年给出了affine利率期限结构的完全刻画。我们引入算子半群的扰动理论来研究短期利率过程。以affine半群作为出发点,我们用Dyson-Phillips级数来表示扰动affine半群。然后,我们用半群扰动方法来研究拟多项式系数的短期利率过程,并推导出相应的利率衍生品定价公式。
在半鞅的框架下,借助于半鞅的特征,我们研究了一般的HJM模型。此模型能包括先前提出的布朗运动、Levy过程、跳跃-扩散过程驱动的HJM模型。进-步,在一种跳跃-扩散模型下,我们给出了某些利率衍生品的具体定价公式。