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本文主要考虑了拟齐次Hilbert模的Arveson曲率不变量与Dirac算子指标的关系，高维单位球上内函数生成的子模及其商模的Taylor谱和Tayor本质谱及其相关的K-同调，以及由多项式生成的解析Hilbert子模的局部化维数公式及其几何不变量。
Arveson在1999年提出了Hilbert模的曲率不变量的概念，其定义相当复杂，Arveson发现在一些有趣的情况下，它总是一个正整数。这一令人惊奇的事实可能蕴含着Hilbert模的许多还不清楚的信息，引起了广泛的关注，成为目前算子理论和Hilbert模几何分析的热点问题之一。本文的工作之一研究了拟齐次Hilbert模的一些性质，并将Arveson[Ar6]中的主要结果，即对于齐次Hilbert模，Arveson曲率不变量与Dirac算子相关的指标公式推广到拟齐次Hilbert模的情形。
众所周知，单位圆盘上Hardy空间的坐标乘法算子的不变子空间都是由单个内函数生成的，用模的语言来说，其子模都是由单个内函数决定的，故内函数的理论在研究子模结构时十分重要。本文研究了高维单位球上Hardy模的由内函数生成的子模，即所谓的Beurling型子模。我们完全刻画了高维单位球上Beurling型子模及其对应商模的Taylor谱和Taylor本质谱，并研究了其相关的K-同调。
Cowen和Douglas上世纪七十年代末将复几何的工具引入到算子理论中。近年来Douglas，Misra等人希望用复几何的方法来研究Hilbert模的几何不变量，例如一类Hilbert模对应的Hermitian全纯向量丛的曲率不变量。局部化的方法是研究Hilbert模的强有力工具之一。在研究Hilbert模的局部化的几何中，Douglas，Misra和Varughese提出了关于解析Hilbert子模的局部化的维数公式的一个猜想。我们利用Guo提出和发展的特征空间理论将其转化为经典代数几何中的一个等价问题，并结合算子理论和代数几何的方法证明了该问题在大多数自然的情况下成立，通过经典的代数几何中的一些例子说明本文中使得该猜想成立的假设条件是必要的。