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拓扑绝缘体是一种全新的量子态，它的体能带结构存在一个能隙，表现出普通绝缘体特征，但在拓扑绝缘体的边界上存在导电的边界态(表面态或边缘态），表现出金属特征。正是因为拓扑绝缘体这种新奇的物理特性，决定了它具有优良的输运特性和一系列奇特的物理性质。然而，目前奇特的拓扑半金属材料开始受到人们广泛的关注。不同于拓扑绝缘体，拓扑半金属的体态不存在体能隙，但它们持有新奇拓扑表面态和费米表面，例如费米弧。根据动量空间能带交叉点的类型，常见的拓扑半金属可以分为Dirac、Weyl和Node-Line半金属。Dirac半金属拥有四重简并的Dirac点，可以用Dirac方程描述，在Dirac方程中可以引入质量项，使得系统打开带隙，所以Dirac半金属需要有严格的对称性来保护Dirac点。对于Weyl半金属，在动量空间存在两重简并的Weyl点，这就要求时间或空间反演对称性需要被破坏。Weyl半金属的低能有效模型为Weyl费米子，可以用Weyl方程描述。由于在Weyl方程中不能引入质量项，所以Weyl费米子是可以稳定存在的拓扑态。此外，Weyl费米子还可以看成是动量空间的磁单极子，等效于Berry曲率的源和漏。Dirac和Weyl半金属的三维费米表面上仅存在孤立的点，而在投影表面会出现连接Dirac或Weyl点投影的费米弧。不同于Dirac和Weyl半金属，Node-Line半金属在动量空间的能带交叉点会形成一维环路，在表面上存在鼓膜状表面态，它们位于投影的Node环里面或外面并连接着Node环投影。除了上面谈到的这几种拓扑半金属，另外一种含有三重简并交叉点的拓扑半金属也被理论证实，它可以看成是Dirac和Weyl半金属的一种中间态，同样具有新奇的拓扑特性，包括非平庸的表面态以及费米弧等。三重简并点半金属受对称性保护，要求所属点群必须至少含有一个两维和一个一维不可约表示，这为寻找三重简并点半金属提供了理论依据。 在本论文中，我们利用第一性原理计算并结合最局域Wannier函数方法和有效k·p方法，主要研究了拓扑半金属的奇特物理性质。第一章，我们介绍了拓扑绝缘体，拓扑半金属等拓扑材料的基本概念，研究动机以及重要的研究进展，同时我们也简要介绍了用来归类拓扑体系的拓扑不变量，包括TKNN和Z2拓扑不变量。 第二章，我们介绍了一些常见的材料模拟计算方法，包括基于密度泛函理论的第一性原理计算，最局域Wannier函数方法以及有效k·p理论方法。 第三章，通过第一性原理计算，我们理论预言了六角晶格结构的MoC和PbTaS2为拓扑Node-Line半金属。不像其它Node-Line半金属仅存在于缺少自旋轨道耦合的情况，这两种Node-Line半金属体系拥有强的体nodal-lines，当考虑自旋轨道耦合时，每一个nodal-line都将劈裂成两个nodal-lines，并且受镜面对称性保护。在它们的(001)表面，我们发现了鼓膜状表面态，它们连接着体nodal-lines投影。此外，对于MoC体系，在它的布里渊区Γ-A方向，还存在四个受C3v对称性保护的三重简并交叉点，但是它们在表面上的投影都埋藏在体态内，很难被观察到。 第四章，在六角结构的TaS体系中，我们发现了多种费米子共存，包括Node-Line半金属相，Weyl费米子和三重简并点费米子。虽然自旋轨道耦合破坏了kz=0平面上围绕K点的nodal-line，但是kz=π平面上围绕H点的nodal-line并没有被破坏，而是劈裂成两个nodal-lines。在Γ-A线上，同MoC一样，在费米能级附近存在四个三重简并点。更令人感兴趣的是，在第一布里渊区中，TaS持有六对手性Weyl点，分布在K和K点附近并且远离kz=0平面。由于TaS具有D3h对称性，所有Weyl点都坐落在相同的能量上。通过计算表面投影态密度以及费米表面，我们发现了连接不同手性Weyl点投影的费米弧。 第五章，我们利用第一性原理计算并结合MBJLDA方法，通过界面设计，在不同厚度的InSb/α-Sn[111]超晶格中，我们理论实现了量子自旋霍尔态和带有三重简并点的拓扑半金属态。在该超品格体系中，当含有比较厚的InSb层时，可以看成是准二维体系，通过改变α-Sn层厚，发生了从普通绝缘体到拓扑绝缘体相变。然而，当InSb层较薄时，该体系为三维体材料，我们以(InSb)1/(α-Sn)2超晶格为例和计算了它的能带结构，在kz方向上，我们发现了两对三重简并点，它们受C3v对称性保护。我们计算了(100)表面投影态密度以及费米表面，我们发现了拓扑非平庸的表面态以及两条连接三重简并点投影的费米弧。最后通过对称性分析并应用不变量理论，我们给出了一个低能有效k·p哈密顿量，用来描述Γ点附近以及三重简并点的能带，同时也可以描述体系的拓扑非平庸特色。 第六章足本论文的简要总结。