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在科学与工程计算的许多领域，我们需要求解无界区域上的偏微分方程边值问题。对于处理这一类问题，有限元与边界元的耦合方法有其独到的特点和优势。这是因为有限元与边界元的耦合方法既能发挥边界元方法在处理特殊边界的无穷区域问题方面的优势又能发挥有限元方法在处理复杂有界区域问题方面的优势，使得两者取长补短，相辅相成。实现有限元与边界元的耦合有多种途径，所有这些途径又可以根据其两边的网格在人工边界上是否匹配分为两大类:匹配型耦合方法和非匹配型耦合方法。对于匹配型耦合方法，我们对其误差估计及其一些应用已经比较熟悉。但我们对于如何求解其离散以后得到的大规模线性系统却面临着许多困难和挑战。这是因为其离散以后得到的大规模线性系统一般来说都是病态的，即其条件数非常大，从而导致包括共轭梯度法等强力迭代方法在内的迭代方法收敛非常缓慢。所以，构造求解其离散以后得到的大规模线性系统的高效解法至关重要。我们在本文中提出了求解其离散以后得到的大规模线性系统的多重网格方法、层次基方法和带有我们适当设计的预条件子的预条件共轭梯度法并分别对其进行了细致的研究和分析。令人欣喜的是，无论是我们的理论分析还是数值实验的结果都表明我们所提出的这些方法对于求解其离散以后得到的大规模线性系统非常有效。另一方面，对于非匹配型耦合方法，据我们所知，目前这一方面的结果还很少，并且与匹配型耦合方法相比较而言，非匹配型耦合方法更加复杂、更具挑战性。我们在本文中提出了实现有限元与边界元非匹配型耦合的Mortar元方法并得到了其误差估计。更令人高兴的是，我们还由此得到了一些在匹配型耦合方法下无法得到的有趣结果。数值实验的结果为我们的理论提供了强有力的支持。