【摘 要】
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许多研究领域中的数学模型常常需要借助右端不连续微分方程进行刻画,比如神经网络、生物学和控制工程等等.由于右端不连续微分方程的向量场不再连续,从而经典的微分方程理论和研究方法往往不再适用.此时,我们需要借助新的理论工具进行研究,比如Filippov微分包含理论等等.本文在微分包含理论的框架下,研究了具有不连续激励函数的神经网络模型的相关动力学性质,比如平衡点以及概周期解的存在唯一性、全局指数稳定性和
【基金项目】
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国家自然科学基金（批准号:71171077）；
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许多研究领域中的数学模型常常需要借助右端不连续微分方程进行刻画,比如神经网络、生物学和控制工程等等.由于右端不连续微分方程的向量场不再连续,从而经典的微分方程理论和研究方法往往不再适用.此时,我们需要借助新的理论工具进行研究,比如Filippov微分包含理论等等.本文在微分包含理论的框架下,研究了具有不连续激励函数的神经网络模型的相关动力学性质,比如平衡点以及概周期解的存在唯一性、全局指数稳定性和有限时间镇定性等性质.在本论文的研究过程中,主要使用的理论工具有微分包含理论、集值分析、非线性分析和矩阵理论等等.通过构建Lyapunov泛函和使用不等式技巧等方法,获得了一些新的结果,比如具有不连续激励函数的复值不确定神经网络的鲁棒稳定性等等.本学位论文的结构如下:在第一章中,简要介绍了右端不连续微分方程理论的研究概况.接着,对人工神经网络的研究历史和具有不连续激励函数的神经网络模型的动力学行为研究进行了概述.最后,给出了本文的结构安排和主要研究内容以及本文的创新.在第二章中,介绍了本文需要的一些重要的基础知识和理论.在第三章中,研究了一类具有不连续激励函数和时滞影响的复值不确定神经网络的平衡点的鲁棒稳定性.通过分离实部和虚部的方法,得到了与原复值系统等价的实值不连续系统.文中通过此实值系统去研究原复值不确定神经网络系统的相关动力学性质.文中不用要求激励函数具有有界性或单调性,从而激励函数的条件具有一般性.在Filippov微分包含理论的框架下,利用多值版本的Leray-Schauder选择定理和矩阵不等式技巧等方法,获得了系统存在平衡点的充分条件.然后,在进一步假设激励函数满足单调性的条件下,通过构建Lyapunov泛函和非线性分析等方法,研究了平衡点的存在唯一性和全局指数稳定性.我们推广和完善了实值不确定神经网络关于平衡点的鲁棒稳定性的一些结果.在第四章中,研究了一类具有时滞影响的不连续复值竞争神经网络的概周期解的动力学性质.首先,利用分离实部和虚部的方法获得了和原不连续复值系统等价的实值系统.文中假设不连续激励函数具有单调非减性,但不用要求其满足有界性.在Filippov微分包含理论的研究框架下,通过构建合适的Lyapunov泛函等方法研究了系统解的有界性,以及获得了系统存在渐近概周期解的充分性条件.然后,利用Arzela-Ascoli定理和Lebesgue控制收敛定理讨论了系统概周期解的存在性.最后,利用构建Lyapunov泛函等方法研究了系统概周期解的存在唯一性和全局指数稳定性.本章的结果推广了不连续竞争神经网络关于概周期解的相关结果.在第五章中,研究了两类不连续神经网络模型的有限时间镇定性,即基于忆阻的时滞Cohen-Grossberg神经网络与具有不连续激励函数和混合时滞的不确定神经网络.关于基于忆阻的时滞Cohen-Grossberg神经网络模型,因为忆阻器的存在,从数学角度上讲该神经网络系统本质为右端不连续微分方程.文中先通过变量变换的方法,由原系统获得了比较容易研究的微分系统.在Filippov微分包含理论的框架下,利用集值映射的Kakutani不动点理论,通过研究变换后的微分系统获得了原神经网络模型平衡点存在的充分条件.然后,设计了两种不连续状态反馈控制器,通过构建Lyapunov泛函和运用不等式技巧等方法,获得了系统实现有限时间镇定的充分条件.另外,对于具有不连续激励函数和混合时滞的不确定神经网络,易知零点是该不连续系统的一个平衡点.文中设计了两种不连续控制器,即状态反馈控制器和自适应控制器,通过构建Lyapunov泛函等方法获得了系统实现有限时间镇定的充分条件.本文,我们在微分包含理论的研究框架下,对几类不连续神经网络模型的平衡点以及概周期解的存在性和稳定性进行了扩展研究,考虑了更加一般的系统如具有不连续激励函数的复值不确定神经网络和复值竞争神经网络等等,推广和完善了已有的一些结论.
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