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量子色动力学作为粒子物理标准模型的重要组成部分，尽管早已经为学术界所公认，但其在非微扰区域的理论计算依然是一个充满挑战性的研究领域。我们知道，强相互作用体系的两个最重要的非微扰性质分别是手征对称性的动力学破缺和色禁闭，任何计算的出发点都必须先着手于解释这两个重要性质。在这一基础上，人们需要进一步研究强子结构以及有限温度密度环境下强相互作用系统的相结构。再进一步，就需要考虑一些非平衡态的演化过程。
实践证明，Dyson-Schwinger方程（DS方程）作为场论版的运动方程，在处理QCD的非微扰计算方面是非常成功的。它可以同时描述手征对称性的动力学破缺和色禁闭、研究有限温度密度环境下的相结构、研究强子性质甚至一些非平衡态的耗散过程。考虑到方程组的不封闭性以及积分特性，DS方程无论在理论构造还是数值计算方面都存在各种各样的问题和困难。因此这是一个值得人们重视与深入研究的课题。在本文中，我们着力于介绍两种版本的DS方程及其应用，即欧氏空间的DS方程与闵氏空间的DS方程。
首先，我们讨论了欧氏空间中的DS方程。本文较系统地介绍了DS方程的理论推导，讨论了对称性施加的约束、重整化、截断技巧、有限温度有限密度下的形式等等，它们在DS方程的应用中都是至关重要的理论基础工作。在欧氏空间的DS方程的应用方丽，考虑到DS方程存在多解性，它为我们研究相结构提供了现实基础。我们放弃传统的利用热力学势作为相变判断标准的方法，取而代之的是研究DS方程的对称性最高的解（Wigner解）的稳定性。这种稳定性如果在某种环境下被破坏，那就意味着对称性自发破缺以及相变的必然发生。提出判别稳定性的定量工具就是针对某种特定外场微扰的响应率（即“磁”化率）。通过对手征磁化率的研究我们发现，在相互作用强度足够大时，Wigner解的手征磁化率会变为负值，并进而诱导出一系列的正反馈过程，最终导致对称真空失稳并向破坏手征对称性的真空演化。另外随着化学势的增加，原本失稳的Wigner解的“磁”化率会由负转正，从而使得对称真空变得稳定，出现由化学势驱动的手征对称性恢复相变。此外我们还研究了色超导相存在可能性。在低化学势下，对称真空对于色超导形式的外场微扰而言是稳定，随着化学势达到一个较大的值（在手征对称性恢复之后），相应的磁化率会出现反常，使得对称真空失稳并向色超导真空转变。这一方面确立了高密度色超导相的存在，另一方面也表明手征对称性恢复相变与色超导相变之间不存在竞争。类似的方法还可以应用到其它相结构的判断研究中，例如有限温度条件下的解禁闭相交与手征对称性恢复相变等。
在接下来的第三章，我们主要讨论了如何建立正确且实用的闵氏空间的DS方程的形式。我们通过参数化度规的技巧来构造和求解闵氏空间的DS方程。我们发现，在有些模型中，闵氏真空与欧氏真空是不一致的。这使得通常所谓的解析延拓失去意义。只有当我们合理地选择模型从而保证真空一致性时才能对其欧空间的结果进行有意义的解析延拓。在这种情况下，我们构造的闵氏DS方程能够有效地给出关联函数在整个复平面的信息。我们提出通过调节参数化度规中的参数实现解析延拓的方案并说明了其使用条件。在我们的方案下，求解出的夸克传播子在类时轴上存在一个一阶奇点和一个低于一阶的零点。零点的能标要比奇点的能标高，二者之间的距离取决于胶予模型中的屏蔽标度。随着该屏蔽标度趋于零，零点与奇点会趋于重合，并给出一个低于一阶的奇点。该奇点一方面说明夸克自由度具有运动学性质，另一方面又说明夸克并不能以通常的粒子形式传播，这个结论与夸克禁闭性质是自洽的。在这个工作的基础上，我们建议进一步的工作应该将这一套系统应用于更加真实的模型，并将其推广至有限温度与有限密度的环境中，甚至可以应用予非平衡态过程。这一系列工作对于将实验信号与QCD理论计算紧密联系在一起是至关重要的。