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变截面梁在工程中得到广泛的应用。由于其控制方程为变系数微分方程,一般很难得到解析解,可以运用数值计算方法求解其近似解。本文基于Euler-Bernoulli梁的理论并采用中心差分法分析了置于弹性地基上的变截面梁在轴向荷载作用下的自由振动响应,获得了固有频率和振型,讨论了各种参数对频率的影响。主要内容包括以下几个方面：1.采用中心差分格式将任意四阶变系数常微分方程两点边值问题离散为系数矩阵为五对角的线性代数方程组。然后,利用追赶法推导出了该代数方程组的递推求解过程。利用该递推求解过程编程时只需要5个一维数组即可存储代数方程组的系数矩阵。具有便于编程、存储空间小、计算速度快等优点。它可以用于求解任意四阶变系数常微分方程的两点边值问题。2.基于Euler-Bernoulli梁理论并利用上述中心差分法的递推求解过程,研究了弹性地基上非均匀变截面梁在轴向压力作用下的自由振动响应。在分析中考虑了梁的横截面尺寸和弹性模量沿轴线连续变化的情形。作为算例,分别计算了两端夹紧和两端简支边界条件下弹性地基上的圆形非均匀变截面梁在轴向压力作用下的自由振动响应。在退化为无弹性支撑和无轴向压力作用均匀梁的特殊情形,所得无量纲固有频率和振型与解析解相比十分接近。讨论了截面变化参数、材料弹性模量参数、弹性地基参数、轴向载荷参数以及边界条件对梁的自由振动固有频率的影响。结果表明,固有频率随轴向压力的增大而减小,随地基参数的增大而增大。同时,固有频率随截面参数和材料参数的增大而增大。3.研究了在自由端固联一刚性质量的非均匀立柱的横向自由振动响应。其中考虑端部集中质量的惯性力以及集中质量和梁的自重产生的轴向压力对系统振动的影响。采用差分法求解自由振动对应的变系数常微分方程两点边值问题,获得了变截面立柱的固有频率数值解。分析了截面变化参数以及由重力产生的轴向压力对系统横向振动固有频率的影响。结果表明,随着截面非均匀参数值的增加频率增加,随着轴向压力的增加频率减小。