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不可压Navier-Stokes方程的数值求解在过去几十年中一直是一个活跃的研究领域。文献[43，66，67，68]发展了一种有效、准确和简单的数值方法。该方法结合了著名的人工压缩性方法和高阶迎风紧致差分算法。针对离散所得到的线性代数方程组的求解问题，我们研究并发展了非对称逐次超松弛(SOR)法和交替方向隐式(ADI)迭代法，得到了收敛速度快且计算精度高的两类算子分裂型迭代算法。同时，我们提出了数值近似与二级预处理方法。本论文的主要内容如下：
第一部分详细介绍了不可压Navier-Stokes方程的数值离散方法。计算流体力学中通常利用逼近分解交替方向隐式方法(AF-ADI)、LU-SGS方法或线松弛法等求解离散所得到的线性方程组。这些方法虽然简单，但是都存在分解误差，在有些情况下误差还会很大，从而会影响方法的全局收敛速度。为了避免这些方法的不足，我们利用数值代数中的各种迭代法求解离散所得的线性方程组，并给出三个定常粘性流动问题的算例来比较AF-ADI方法和GMRES方法。数值结果表明，GMRES方法的收敛速度快且计算精度高。
针对不可压Navier-Stokes方程离散所得到的线性方程组的系数矩阵的特殊结构，在第二部分我们提出了块SSOR和修正块SSOR迭代方法。在块SSOR迭代的每一步，我们利用块LU分解去求解每一个子线性方程组。我们证明了当子线性方程组的系数矩阵是按列第二类块对角占优时，其块LU分解是存在且稳定的。在适当的条件下，我们证明了块SSOR和修正块SSOR迭代方法的收敛性定理。数值结果表明，块SSOR和修正块SSOR迭代方法是这类线性方程组的有效解法器，它们比传统方法更为有效，可以与GMRES方法和BiCGSTAB方法媲美。另外，它们也可以做为Krylov子空间方法的有效预处理子。
基于传统的ADI迭代法和Navier-Stokes方程的离散格式，在第三部分我们提出了修正ADI迭代方法。在适当的条件下，我们证明了修正 ADI迭代方法的收敛性定理，并给出了加速因子的最优估计。数值结果表明，修正ADI迭代方法比块SSOR和修正块SSOR迭代方法更为有效。
上述两类迭代方法都涉及到参数的选取，而参数的好坏决定着方法的收敛快慢。由于最优参数的估计非常困难，因此对于这类非对称线性方程组我们可以直接应用Krylov子空间方法进行求解，并采用预处理技术以提高其收敛速度。利用系数矩阵的特殊结构和对角占优性，在第四部分我们提出了一类数值近似预处理子，并对预处理矩阵给出了特征值界的估计。这类预处理子使得求解广义残量方程的计算量非常大，因此基于适当的数值近似，我们构造出了两类二级预处理子，即不完全LU分解预处理子和对称Gauss-Seidel迭代预处理子。数值结果表明这两类预处理方法是有效的。