一类非齐次Moran集的Hausdorff测度

• 作 者: 金艳玲
• 机 构: 太原理工大学
• 出 处: 太原理工大学
• 发表日期: 2008年01期
• 关键词: 自相似分形集 Hausdorff测度 等价定义 类齐次Moran集

自相似分形集的Hausdorff测度的研究一直是国内外研究的热点问题，也是一个难点问题。到目前为止，只给出了少数非常规则的分形集的Hausdorff测度(如三分cantor集)，即使对Koch曲线如此经典分形集，其Hausdorff测度也只有估计结果。近年来，人们将注意力更多地集中在了齐次Cantor集与Moran集的研究中，瞿成勤和周作领对一类齐次Moran集的Hausdorff测度进行了讨论，并得到了精确表达式。本文也主要着眼于分形集Hausdorff测度的讨论，给出了满足开集条件自相似集的Hausdorff测度的等价公式，并获得了一类非齐次Moran集的Hausdorff测度。
本文的主要研究工作：
首先，通过引入Radon-Nikodym导数与绝对连续的概念，证明了存在一个测度卢，使得Hausdorff测度对μ的R-N导数存在，并以此为基础，给出了Hausdorff测度的等价定义。获得以下定理定理2.4.1设E为满足开集条件的自相似集，s=dimH E，则有：
1) 存在一个测度μ，使得dH/dμ存在：
2) 特别地，若dH5/dμ，则Hs(E)=kμ(E)。
其次，本文将文[18]中所定义的一类齐次Moran集推广至非齐次的情况。利用自然覆盖与质量分布原理证明了这类非齐次Moran集的Hausdorff测度计算的准确表达式。获得以下结论：
定理 4.2.1 设E Rn(n≥2)是由({mk}，{nk}，{Φk}，I)决定的s维非齐次本定理的意义在于给出了此类分形集的Hausdorff测度的精确计算公式。最后，对一种“方形花状”分形集的Hausdorff测度进行了细致考察，得到该分形集Hausdorff测度的计算公式与估计：
定理5.4“方形花状”分形集的Hausdorff测度满足以下估计式：