【摘 要】
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精确求解非线性偏微分方程既具有理论意义又存在应用价值,由于非线性偏微分方程自身所具有的复杂性,仍有大量的重要方程无法求出其精确解。有些方程虽然能求解,但解的类型较
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精确求解非线性偏微分方程既具有理论意义又存在应用价值,由于非线性偏微分方程自身所具有的复杂性,仍有大量的重要方程无法求出其精确解。有些方程虽然能求解,但解的类型较单一,这说明求得非线性偏微分方程新的精确解仍是一项有意义的研究工作。Painleve方法是一种集判别非线性偏微分方程可积性和求精确解于一身的方法。自1983年,Weiss、Tabor和Carnevale提出对偏微分方程的Painleve试验以来,用这个方法讨论偏微分方程的可积性或求精确解方面已有了很大的进展,但仍值得进一步研究。本文重点以高维非线性偏微分方程、变系数非线性偏微分方程和非线性偏微分方程组为研究目标,对其应用Painleve分析,得出方程(组)在满足一定的约束条件的时候具有Painleve性质的结论,同时利用Painleve截断展开式构造出了方程(组)的新精确解,并刻画了部分解的图像,以便分析解的性质。本论文首先简单概括了孤子理论的背景与发展史,总结归纳了Painleve分析方法。然后一方面分别用Painleve分析的WTC方法验证了(4+1)维Fokas方程、变系数KdV流体方程和(1+1)维Broer-Kaup(BK)方程组的Painleve可积性质。另一方面利用Painleve截断展开式求得Fokas方程、变系数KdV流体方程和Broer-Kaup(BK)方程组的新精确解,同时分析了部分典型解的演化特征。
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