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考虑有限循环群上的两个子群之间的满同态，我们引入有限集合X上的部分变换半群PX的一个新的子半群EndL(C)，称为群上的局部自同态半群。并对EndL(C)的幂等元和正则元，以及正则D-类作了研究.主要结论如下：
定理2｜EndL(C)｜=∑d|nd.
定理3对f，g∈EndL(C)，｜D(f)｜=s1，｜D(g)｜=s2，｜R((f)｜=t1，｜R(g)｜=t2，以下结论成立：
(1)fRg当且仅当s1=s2且t1=t2；此外，｜Rf｜=()(t1).(2)D=J=L.(3)fLg当且仅当t1=t2且存在整数h，k使得s2｜(ht+1)s1，s1｜(kt+1)s2，其中t=t1=t2，0≤k≤s1/t-1,0≤h≤s2/t-1。(4)R=H且EndL(C)包含∑d|nT(d)个R-类.定理5E(EndL(C))是EndL(C)的一个子半群.(2)R(EndL(C))是EndL(C)的一个纯正子半群.(3)EndL(C)是正则半群当且仅当n=p1p2…pt,其中pi,i=1,2,…,t是不同的素数.
定理6设为n阶循环群，对于n的因子t，存在EndL(C)的唯一正则D-类，满足，对任意f∈D，｜R(f)|=t.