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金融数学是一门新兴的边缘科学，是数学和金融学的交叉，受到国际金融界和应用数学界的高度重视.它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论、数理统计等学科.它的理论研究不仅丰富和发展了现代金融数学，而且对数学的许多分支的发展起到了推动作用.
本文研究了最优投资组合问题的价值函数和最优投资策略.着重讨论了局部有界半鞅最优投资组合问题解的存在性，给出了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造，同时在两类特殊半鞅模型(多维扩散模型和多维随机波动率模型)下，得到了最优投资组合问题解存在的充分条件，给出了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造.主要内容如下：
·讨论了局部有界半鞅模型的最优投资组合问题解的存在性.给出了局部有界半鞅模型和效用函数及其凸对偶问题，得到了完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问题的解以及不完全市场的局部有界半鞅最优投资组合问题的解存在的条件，给出了局部有界半鞅最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造.
·对多维扩散模型的最优投资组合问题进行了探讨.利用动态规划方法研究了幂效用函数的最优投资组合问题，利用对数变换将HJB方程转换为半线性偏微分方程方程，得到了在投资策略无交易限制的情况下半线性偏微分方程方程的解是光滑的充分条件，在这个充分条件下得到了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造.
·研究了随机波动率模型的最优投资组合问题.利用动态规划方法研究了幂效用函数的最优投资组合问题，利用对数变换将HJB方程转换为半线性偏微分方程方程，得到了在投资策略无交易限制和有交易限制两种情况下半线性偏微分方程方程的解是光滑的充分条件，在此条件下得到了最优投资问题的价值函数和最优投资策略的构造.