【摘 要】
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偏微分方程解的临界点集的研究涉及到数学及工程技术中的许多领域,包括偏微分方程理论,几何测度论,几何分析和图像处理等.解的临界点集的几何结构和测度估计的研究是偏微分方程的重要研究内容,也是当前偏微分方程领域关注的热点和难点问题之一.它们既是解的重要几何特性,又与解的渐近性和增长性等相关,是研究偏微分方程解的一些深刻性态的重要工具之一.本论文研究椭圆方程解的临界点集的几何结构及Hausdorff测度估
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偏微分方程解的临界点集的研究涉及到数学及工程技术中的许多领域,包括偏微分方程理论,几何测度论,几何分析和图像处理等.解的临界点集的几何结构和测度估计的研究是偏微分方程的重要研究内容,也是当前偏微分方程领域关注的热点和难点问题之一.它们既是解的重要几何特性,又与解的渐近性和增长性等相关,是研究偏微分方程解的一些深刻性态的重要工具之一.本论文研究椭圆方程解的临界点集的几何结构及Hausdorff测度估计.论文分为五部分,具体内容如下.第一部分,我们研究了如下边值条件的平均曲率方程（?）解u的临界点分布,其中f是一个实值函数,Ω分别是Rn（n ≥ 2）中的一个光滑有界的严格凸和非凸区域.平面区域上的主要方法是将关于u的拟线性椭圆方程转变为关于uθ=▽u·θ的线性椭圆方程并讨论解的内部临界点的唯一性及非退化性.另外,我们通过由高维空间到二维平面上的投影,得到了在高维空间中旋转对称的光滑严格凸区域,中心在原点的同心球环区域以及关于某条轴旋转对称的偏心球环区域上解的临界点集的几何分布.第二部分,我们主要考虑了如下两类边值条件的指定平均曲率方程（?）解u的临界点,其中Ω是R2中的一个有界光滑凸区域,n是（?）Ω上的单位外法向量和H,c,α分别是一个正常数.我们利用局部Chen-Huang 比较技巧和在非退化临界点处近似曲面的几何性质证明了在平面区域上解u的临界点的非退化性和唯一性.在第三和第四部分中,我们基于对上（下）水平集{ x∈Ω:u（x）>t（<t）}中连通分支的精细分析和三个“恰好”的事实,研究了平面有界光滑的多连通区域上一类具有非齐次Dirichlet边值条件的拟线性和线性椭圆方程解的临界点分布,分别得到了内部临界点的重数和与边界上局部极大值点的个数关系以及内部奇异点的重数和与边界上零点的个数关系.第五部分,我们对一类线性椭圆方程（?）解u的奇异集进行了新的分类,其中系数aij（x）,bi（x）,c（x）要求满足适当的条件.通过定义j-对称函数及解u的j-对称奇异集,得到了j-对称奇异集的Hausdorff维数和测度估计.
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