论文部分内容阅读
本文在查阅了大量的原始文献和有关研究文献的基础上，利用文献分析研究与数学史比较研究方法，系统地分析与研究高斯的内蕴微分几何学思想与高斯的非欧几何研究之间的内在联系。主要成果有：
一.通过分析与考察与本课题有关的国内外研究现状和相关领域中已有的研究成果，发现：在揭示高斯的内蕴微分几何学思想和高斯的非欧几何学研究方面，特别是在揭示其内在联系方面，已有研究中存在着一些不足之处甚至存在着矛盾之处。
二.通过对高斯早年关于非欧几何学研究的文献的系统分析与考察，总结出高斯关于非欧几何学研究的两个核心问题——平行线的定义(与高斯-博内定理相关)和绝对长度单位(与高斯曲率密切相关)。围绕这两个核心问题，总结了高斯的非欧几何学思想的实现途径以及高斯为此所奠定的思想基础。
三.通过分析与总结高斯创立内蕴微分几何学的理论与实践两方面的思想渊源，对高斯创立内蕴微分几何学的思想轨迹及其历史背景进行了系统的总结。
四.通过对高斯的历史性论文《关于曲面的一般研究》的内容的系统分析与研究，总结了高斯的内蕴微分几何学的基本思想。特别是通过对高斯的一般研究的第21至29节内容的深入比较与分析，我们认为高斯创立的内蕴微分几何学的真正用意是与他的非欧几何学研究密切相关的。
五.将高斯的内蕴微分几何学思想置于整个非欧几何学的历史背景中加以比较考察，揭示出高斯的内蕴微分几何思想与其非欧几何学研究的内在的深刻联系，以及高斯的内蕴微分几何学思想对于后来的非欧几何学的发展与确认的深刻影响。
六.考察了高斯-博内定理的历史发展及其意义，特别地，考察了陈省身教授的伟大贡献，并由此阐述了高斯-博内定理与现代数学的深刻联系。
七.笔者将高斯的两篇重要的微分几何学论文《论保形映照》、《关于曲面的一般研究》首次全文翻译为中文，这是内蕴微分几何学的重要历史文献。
总之，笔者认为，本文对于全面深入地理解高斯的几何学思想将是有益的，对于18世纪末19世纪初几何学发展的历史提供了一个新的视角。