【摘 要】
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分数阶微分方程有着丰富的理论内涵和深远的物理意义.它能更准确简洁的描述某些实际问题中具有历史记忆的复杂力学和物理过程,在反常扩散、流体力学、信号控制、图像处理等领域有着广泛的应用.近年来,这类方程受到越来越多学者的关注.本文主要研究如下的时间分数阶Fokker-Planck方程(?)其中α ∈(0,1),kα是广义扩散系数,μα是广义摩擦系数,F=F(x,t)是变外力场.g(x,t)为源项,(?)
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分数阶微分方程有着丰富的理论内涵和深远的物理意义.它能更准确简洁的描述某些实际问题中具有历史记忆的复杂力学和物理过程,在反常扩散、流体力学、信号控制、图像处理等领域有着广泛的应用.近年来,这类方程受到越来越多学者的关注.本文主要研究如下的时间分数阶Fokker-Planck方程(?)其中α ∈(0,1),kα是广义扩散系数,μα是广义摩擦系数,F=F(x,t)是变外力场.g(x,t)为源项,(?)t1-αu是Riemann-Liouville分数阶导数.我们设计一种全离散数值方法求解变外力场下的时间分数阶Fokker-Planck方程,其中外力场与时间空间都有关系,并从理论上证明数值方法的稳定性与收敛性.在我们的方法中,空间导数使用中心差分格式进行离散,时间分数阶导数使用Grunwald-Letnikov近似.在收敛性的分析中,我们给出了数值方法的误差为O(h2+τλ),其中τ,h分别表示时间步长和空间网格尺寸,λ是与解的奇异性有关的参数.最后我们通过数值实验验证理论分析结果.本文共分为五章,结构如下:第一章,概述论文的研究背景与现状,阐述研究工作及创新点.第二章,介绍分数阶导数的相关概念和基本性质.第三章,设计时间分数阶Fokker-Planck方程的全离散方法.第四章,从理论上分析方法的稳定性与收敛性.第五章,通过三个不同的数值实例验证我们的理论分析.
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