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随着加速器物理与技术的不断发展，带电粒子束流光学从线性理论到二级像差理论，现在已发展到高阶像差理论，李代数方法是进行高级像差分析的有力的工具之一。李代数方法是在电动力学，Hamilton力学和带电粒子束流光学的基础上，以群论为分析手段，并涉及到拓扑学和微分几何等学科，是一套独特而严谨的分析方法，它为带电粒子束光学的发展开辟了一条崭新的道路。无论从带电粒子束流光学理论本身的发展的需要来讲，还是从加速器设计中的应用上讲，李代数方法都有着特别重要的意义。因此，国内外不少实验室都在开展李代数方法的研究，成为加速器研究中非常活跃的前沿课题。
高能加速器轨道稳定性的研究，高精密谱仪的设计及高精密电子显微镜设计等，都需要对粒子的轨道作高精度的计算，这必然需要考虑束流光路的二级、三级甚至更高级的像差影响。目前国际上对二级像差的研究已经比较成熟了，而三级像差的研究还有很多工作需要深入。对于三级以上的像差，由于其复杂度极大，所以本论文仅计算分析了在六维相空间的二级和三级像差。
本论文第一个内容是详细介绍了李代数方法的基本理论和它在加速器束流光学中的应用方法和步骤。我们从基本的群概念开始，详细介绍了李群和李代数的数学概念，然后将这些数学概念与束流光学中的粒子运动的物理概念相联系，即用李代数的概念和方法来理解和解决粒子的运动问题，这样我们就把粒子运动的物理问题转化为数学问题。之后我们通过严格的数学推导和证明，得出求解具体加速器元件映射公式的方法和步骤：首先给出元件的Hamilton函数，然后将Hamilton函数做泰勒展开，再由Hamilton函数的各阶展开式求出各阶的f函数，最后由这些f函数的李映射求出各阶坐标映射公式。
本论文的第二个内容就是按照这种方法和步骤具体推导求解了静电四极透镜、静电分析器和交叉场分析器三个加速器元件的三阶坐标映射公式。
从二十世纪七十年代开始到现在，国际上对李代数方法在束流光学中的应用研究不断得到发展和充实，可是从所能看到的发表文献来看，还没有人给出用李代数方法推导的三阶及三阶以上加速器元件的坐标映射公式。CERN编写的MAD程序可以计算静电四极透镜的三阶非线性近似，可是在其程序说明书中，并没有给出三阶坐标映射公式。对静电分析器的非线性分析，目前还没有在国际上看到相关的文献。二十世纪八十年代，KatsuhiroKuroda曾经通过解微分方程的方法得到交叉场分析器的三阶非线性映射公式，但是由于方法的局限性，只能求解三种特例，其结果也只是在四维相空间中的映射公式。本论文利用李代数方法对静电四极透镜、静电分析器和交叉场分析器这三个元件进行的分析计算，给出了它们在六维相空间中的三级坐标映射公式。
本论文的第三个内容是介绍非线性粒子动力学计算程序的设计。非线性公式的复杂性使得我们难于直接将其应用于实际的计算，而计算机程序解决了这个难题。一直以来，绝大多数加速器计算软件为西方世界所设计，国产软件很少，而且，近几年来各国对加速器的计算软件控制非常严格，价格昂贵。为了发展我国自己的软件，在进行理论分析的同时，我们开展了加速器非线性粒子动力学计算软件的设计。1995年北京大学重离子所吕建钦教授完成了LEADS程序的设计。此程序用MSFORTRAN5.1写成，约六千多个语句，适合在IBM-PC及其兼容机上运行。此程序可以计算由下列元件任意组合而成的离子光学系统：三圆筒单透镜、三膜片透镜、双圆筒透镜、均匀场静电加速簪、静电四极透镜、磁四极透镜、偏转磁铁、双间隙RF加速元件、三间隙RF加速元件等元件组成的离子光学系统。薄膜电荷剥离器的影响也可包括在内。因此，此程序可以分析计算静电加速器、直线加速器和束流传输运输中的粒子运动。LEADS程序的原版本为线性计算。以LEADS程序为平台，我们把得到的静电四极透镜、静电分析器和交叉场分析器线性和非线性映射公式编入程序，新增加了静电分析器和交叉场分析器两个元件，同时把其它元件的非线性映射公式也编入程序，并增加了一些新的计算分析功能，使得LEADS程序更加完善。之后我们利用新的LEADS程序比较检验了单个元件的线性和非线性影响的差别，比较了LEADS与TRANSPORT程序计算结果之间的差异，比较了北京大学4.5MV静电加速器光路的线性和非线性计算结果的差别。最后我们应用LEADS程序具体计算分析了微米束和周期性光路的非线性影响，一方面检验了LEADS程序对这两种光路的设计和计算的能力，另一方面介绍了LEADS程序对这两种光路设计和计算的步骤和方法。