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设n为一个自然数，一个n×n的实矩阵称为扩张矩阵，如果它的特征值的模均严格大于1.设A为一个扩张矩阵，本文研究了相关于{Ak：k∈Z)这个离散伸缩群的欧氏空间上的Hardy空间理论与相关算子的有界性，这种非常一般的离散伸缩性称为各向异性。本文首先建立了加权各向异性Hardy空间与加权乘积Hardy空间理论及它们在次线性算子有界性上的应用.然后建立了一类奇异积分算子在加权Lebesgue空间及加权各向异性乘积Hardy空间上的有界性.除了Rn上的加权Hardy空间理论之外，本文的主要结果在无权的情形下也是新的。
全文分为三章，具体如下:
第一章引进了伴随于主极大函数特征的加权各向异性的Hardy空间并建立了它的原子特征刻画，进一步，对于加权各向异性的有限原子Hardy空间，得到了此空间的通过有限原子分解定义的新拟范数与其作为加权各向异性的Hardy的子空间的拟范数的等价特征刻画.作为应用，得到了一类次线性算子在加权各向异性Hardy空间上的有界性判定准则。
第二章首先建立了加权Lebesgue空间上的各向异性的乘积Lusin-area函数及Littlewood-Paley-g函数的范数特征刻画.然后引进了相关于此Lusin-area函数的加权各向异性乘积Hardy空间，并建立了它的原子特征刻画，最后，对于加权各向异性的有限原子乘积Hardy空间，得到了此空间的通过有限原子分解定义的新拟范数与其作为加权各向异性的乘积Hardy的子空间的拟范数的等价特征刻画.作为应用，得到了一类次线性算子在加权各向异性乘积Hardy空间上的有界性判定准则。
第三章引进了乘积空间上Marcin Bownik意义下的一类各向异性的奇异积分算子，它的核的消失性是通过E.M. Stein意义下的bump函数定义的，我们证明了此类算子在加权Lebesgue空间上及在各向异性加权乘积Hardy空间上的有界性。