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本文研究了Schwarzschild，Kerr以及一般轴对称稳态时空背景下的调和坐标系统，以及它们在天体物理和数值相对论中的应用。同时，也研究了Kerr黑洞中的一类极值黑洞时空几何背景下的标量波方程的解的行为。 具体来说，从简单的Schwarzschild黑洞情形出发，得到了Kerr黑洞的一组可以穿越黑洞视界的调和坐标，并且写出了在这组调和坐标下Kerr度规的具体表达式。根据得到的这组调和坐标，可以把传统的Kinnersley标架改进为一个可以穿越黑洞视界的新的Newman-Penrose标架，从而也可以改进原始的Teukolsky方程。关于调和坐标在天体物理中的应用，得到了Kerr度规的后牛顿展开式，从中就可以具体地写出Kerr黑洞时空的多极矩。鉴于后牛顿近似法和Kerr时空中试验粒子动力学的联系，也可以通过试验粒子的轨迹来确定和多极矩的联系。一个应用的例子就是通过观测星系中心超大质量黑洞附近的小行星的运动轨迹，人们就可以绘制出时空结构。另外，发现在我们的调和坐标下得到的时间切片的几何结构和在数值相对论中广泛使用的“1+log”-切片的非常相似。这样的时间切片不是最大化的。进一步，也讨论了推广到一般轴对称稳态时空的一些结果。在给定的边界假设条件下，证明了一般轴对称稳态时空的调和坐标系统的存在唯一性。 此外，还考虑了极值Kerr黑洞时空几何背景下标量波方程的Cauchy问题，其初值是光滑的并且紧支集在黑洞视界外。首先，得到了方程的解的积分表达式，由角动量模式的无限和生成，而每一个又是能量变量ω在实轴上的积分。这个积分表达式中也包含分离变量产生的径向和角向常微分方程的解。进一步，可以用这个积分表达式来证明方程的解在L∞loc意义下随时间逐点衰减。最后，还给出了极值Kerr黑洞时空几何背景下波方程的解在近黑洞视界极限意义下的积分表达式。