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关于弹性动力学中的偏微分方程研究具有重要的理论意义，同时又具有很高的应用价值．本文主要讨论与弹性动力学有关的偏微分方程问题，主要贡献是证明了以线性弹性动力学方程组为主部的三维二阶拟线性双曲型偏微分方程组解的整体存在性；本文的另一贡献是利用渐近分析方法得到了一个二维线性弹性扁壳的动力学模型．
关于非线性弹性力学方程组解的存在性研究已有许多重要的结果．1988年，F．John[12]利用线性弹性动力学方程组基本解的估计，证明了非线性弹性动力学方程组初值问题经典解的几乎整体存在性；1996年，S．Klainerman和T．Sideris[32]利用能量估计及Klainerman—Sobolev不等式得到了相同的结果；2000年，R．Agemi[2]和T．Sideris[48]分别证明了在满足零条件时，非线性弹性动力学方程组Cauchy问题解的整体存在性；2005年，J.Xin和T．Qin[60]证明了非线性弹性动力学方程组星形区域外Dirichlet初边值问题解的几乎整体存在性；最近，J．Metcalfe和B．Thomases[44]证明了在满足零条件时，非线性弹性动力学方程组外问题解的整体存在性．
关于弹性扁壳的模型，主要有两类，一类是静力学模型，一类是动力学模型．p.G．Ciarlet和B．Miara[9]首先给出了在笛卡尔坐标下二维厚度不变的弹性扁壳静力学模型．之后，S．Busse，p.G．Ciarlet和B．Miara[4]在曲线坐标下讨论了相同的问题．接着，n.Sabu[47]给出了二维变厚度的弹性扁壳静力学模型．而关于弹性扁壳的动力学模型方面的工作目前还不多．在边界有限制的条件下，L.M．Xiao在[58，59]中分别给出了厚度不变的二维膜壳与弯壳的动力学模型．J．Ye[61]则给出了更一般的厚度不变的二维膜壳动力学模型．
下面对本文的结果作一简单介绍．
(1)证明了在满足零条件时，以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含有u的一次幂时拟线性双曲型方程组Cauchy问题的解整体存在。
(2)证明了在满足零条件时，以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含有u的二次幂且具散度型的拟线性双曲型方程组Cauchy问题的解整体存在。
(3)讨论了以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含u的一阶导数项的拟线性双曲型方程组Cauchy问题，给出了新的零条件并证明了其解的整体存在性．
(4)由三维弹性动力学方程组出发，利用渐近分析的方法，得到了二维的变厚度的线性弹性动力学扁壳模型．