【摘 要】
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多元复分析中的一个重要的问题就是区分Cn中的两个域是否是双全纯等价的。这里的域,指的是Cn中的连通的开集。在复平面的情形,上述问题有了很好的解决,因为有黎曼映射定理:复平面中的非平凡的单连通的域是双全纯等价的[69]。但是当n大于一的时候情况复杂的多,因为Poincaré证明了多元复空间中的单位球和多圆盘不是双全纯等价的[54]。更一般的,Burns,Shnider,Wells[11]和Green
【基金项目】
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国家自然科学基金资助No.11371246；
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多元复分析中的一个重要的问题就是区分Cn中的两个域是否是双全纯等价的。这里的域,指的是Cn中的连通的开集。在复平面的情形,上述问题有了很好的解决,因为有黎曼映射定理:复平面中的非平凡的单连通的域是双全纯等价的[69]。但是当n大于一的时候情况复杂的多,因为Poincaré证明了多元复空间中的单位球和多圆盘不是双全纯等价的[54]。更一般的,Burns,Shnider,Wells[11]和Greene,Krantz[27]证明了一般情况下两个具有光滑边界的强拟凸域也不是双全纯等价的。因此,我们需要一些几何不变量来区分一些域是否是双全纯等价的。Fefferman[19],Bell[7],Bell,Ligocka[6]等人的工作表明一些具有光滑边界的域上的全纯自同构可以光滑延拓到边界外,因此这使得利用Poincaré的原始的方法在域的边界上找一些几何不变量来区分域有了可能。Chern和Moser[14]在这个方向做了大量的工作。而另外一种方法,也是由Poincaré的工作所启发,就是去研究域的全纯自同构群。域的全纯自同构群是一个天然的不变量,它在很多方面反映了这个域上的Levi几何和Bergman几何的性质。而研究域上的自同构群（非紧）的一个非常重要的方法就是scaling方法。scaling方法是分析局部边界点的方法。这种方法不仅被用来研究自同构群[63],[21],[28];也用来分析一些核函数[53],[45];Bergman度量的边界性质[40],[36],[37],[38]等等。而本文的主要内容就是scaling方法在多元复分析中的两个应用。全文共分为三个部分。第一部分是介绍一些复分析中的基本的概念。在第一章我们给出域的定义函数,全纯域的定义,多重次调和函数等等的基本定义。并给出后面我们需要的复几何中的各种不变度量,复测地线,复解析集,等等。在第二章主要介绍scaling方法。用一维和高维的具体的例子来解释scaling方法的具体的步骤,并用它来给出Wong-Rosay定理的证明。第二部分我们给出scaling方法的第一个应用。弱拟凸域是多元复分析所研究的一类重要的域,尤其是具有光滑边界的finite type的域。这类域主要有;C2中的finite type的域;具有光滑边界的凸的finite type的域;Cn中的边界的Levi form的秩大于等于n-2的域;有界的C线性凸的域等等。以上的这些域都包含在被称为h-extendible域（或者叫做semi-regular域）中。首先,我们定义h-extendible models,并用它来给出h-extendible边界点的定义。注意到h-extendible models一般不是有界的。我们给出了h-extendible models的一些基本的几何性质,如Kobayashi hyperbolicity,完备性,等等。接着我们研究具有非紧全纯自同构群的h-extendible域。一个域如果它的自同构群是非紧的,那么它一定存在一个边界聚积点,而这个边界聚积点附近的边界性质决定了这个域整体的几何性质,Wong-Rosay定理就是这种方法的一个例子。Gaussier[23]证明了如果这个边界聚积点是凸的,并且是finite type的,那么这个域整体上是和一个由多重次调和齐次多项式所定义的域双全纯等价。我们证明了如果一个域它的边界聚积点是h-extendible的,那么这个域和它对应的h-extendible model双全纯等价。第三部分我们给出scaling方法在逆紧全纯映射中的应用。一个连续映射是逆紧的如果紧集的原像也是紧集。因此,如果逆紧全纯映射能够延拓到边界上去,那么它把边界映射到边界。因此可以通过研究逆紧全纯映射在边界的性质来研究它整体的性质。Alexander[2]在1977年证明了Cn中的单位球上的逆紧全纯映射一定是自同构,其中n≥2。在第四章中我们首先定义了一种叫做generalized minimal ball的具有非光滑边界的凸域,它可以看作是minimal ball[30]的推广。minimal ball上的逆紧全纯映射都是自同构[59]。这种域可以看作是介于复椭球和单位球Bn中间的一种域。我们首先研究了它上面的复测地线的一些性质,然后用这些性质来给出这个域的全纯自同构群。接下来,我们用scaling方法证明了如果f是这个域上的逆紧全纯映射,那么它肯定把分歧点与边界的交映射到这个域的不光滑的边界的部分。然后因为f可以被这个域的一个自同构群的子群来分解,得出矛盾,从而证明f一定是双全纯映射。该部分内容可以看作是[59]的结论在一类generalized minimal ball上的推广。
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