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对称性是自然界中普遍存在的一种现象。具有对称性的力学系统通常蕴含有某些重要的守恒量,而约化理论正是利用与对称性相关的守恒量来对系统进行约化。对于具有对称性的Hamilton系统已经有很多重要的约化方法,比如正则点辛约化,正则轨道辛约化,奇异点辛约化,奇异轨道辛约化,优化点辛约化,优化轨道辛约化以及正则点分阶段约化等等。本文中我们系统总结了拓扑条件下的对称Hamilton系统的分阶段约化理论,并给出了带有非等变上循环的非交换半直积群的分阶段约化定理及其应用。
本文首先利用辛分布方法给出了不同拓扑条件下的分阶段约化定理并对相应的分阶段假设之间的关系进行了比较与分析。其次得到了带有群2阶上循环的交换半直积群及非交换半直群的分阶段约化定理,而且还给出了其右平凡化情形下的具体表示(其在具体的应用中很重要)。最后作为应用我们研究了3阶上三角矩阵群与其正规子群(对角线上元素为1的3阶上三角矩阵所构成的群)所构成的半直积群的余伴随轨道的分类问题,并且得到了相应指标条件下轨道分类结果。
本文可以分为以下四个部分:
第一部分简单回顾了与拓扑条件下的分阶段约化相关的基本概念和表示,并对前人的研究成果进行了相应的介绍,这为本文的研究奠定了基础。
第二部分不但给出了连通分支情形下及点集拓扑条件下的分阶段约化定理,还对上述两个阶段假设之间的关系进行了探讨。
第三部分通过构造性的方法给出了带有群2阶上循环的交换半直积群及非交换半直积群的分阶段约化定理,并给出了其在右平凡化情形下的具体表示。
第四部分给出了非交换半直积群所对应的分阶段约化定理的一个具体应用,即3阶上三角矩阵群与其正规子群所构成的半直积群的余伴随轨道的分类问题,值得一提的是不同于[17]中的做法,在本文中通过尝试利用不同的指标来对余伴随轨道进行分类,简化了相应的分类过程,并且得到了相应指标条件下具体轨道分类结果。