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强关联电子系统已经成为凝聚态物理研究最重要的课题之一，其中超导和量子磁性一直是人们十分感兴趣的问题。强关联电子体系的物理现象十分丰富，在过去的二三十年中，人们发展了许多新的方法和技术来理解电子之间的库仑关联效应。例如，对于一维情形，利用Bethe ansatz解和玻色化技术我们可以计算反铁磁Heisenberg模型和Hubbard模型的自旋关联函数和非对角关联函数的渐近行为。最近一种十分有效的数值计算方法一密度矩阵重整化群技术也用于计算这些模型的自旋关联。但是对于高维空间中的强关联电子模型的分析极为困难。例如，在二维体系中，我们的解析工具十分有限。除了在小尺寸样品上进行一些数值计算外，大多数的近似方法都是基于平均场理论。尽管这些方法可以给出强关联体系许多磁性及超导关联特性，但是在许多情况下它是不可靠的。我们知道，低维强关联体系的量子涨落很强，这往往会导致由平均场理论给出的结果有定性上的错误。所以我们必须把量子涨落的效应考虑进来。而泛函路径路径积分是一个非常有力的工具，利用它可以很方便地处理量子涨落效应。本文中，我们的主要工作就是利用路径积分的方法，来计算涨落效应对平均场结果带来的影响。
在本论文中，我们将首先介绍泛函路径积分概念，然后把它推广到量子多体中去，并推导出量子多体系统配分函数的路径积分公式。然后我们以铁磁Heisen~)erg模型为例，介绍Schwinger。玻色子大Ⅳ展开理论。在此基础上，我们将研究2D各向异性反铁磁体的量子涨落。这是本论文最主要的工作。它包括二部分。首先，对于2D备向异性：Heisenberg反铁磁模型(S=1)，我们将计算当临界耦合常数J为多大时体系出现量子跨越。我们发现量子涨落的修正大大改善了平均场的结果。然后，我们讨论加入单离子各向异性的情况并给出量子相变的相图。我们发现，量子涨落效应可以导致平均场结果的不稳定性。接下来，我们还研究了小颗粒金属中的超导关联。我们将利用费米子表象的路径积分方法来表征金属小颗粒的超导涨落，并给出基态能量的量子涨落修正。最后，我们介绍一下如何用自旋反射正性的方法严格讨论双交换模型中的反铁磁关联效应。