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Majorana费米子是服从非阿贝尔统计的准粒子，反粒子是其本身。因为一对Majorana算符等价于一个费米算符:c=1/2（γ1+iγ2），所以它更像半个费米子。它对周围环境的扰动不敏感，可用于拓扑量子计算，这一特征已经吸引了人们的广泛关注。文献中，计算Majorana波函数、体系激发能所用的数值计算方法是Bogoliubovde Gennes(BDG)对角化。然而，我们发现这种方法是错误的。因为数值计算结果表明这种方法构造的算符不符合费米算符的反对易关系。我们首次引入一个新的数值计算方法:舒尔分解块对角化。通过这一正确的数值计算方法，我们将对Majorana费米子的研究集中于一维线和二维平方晶格。 在一维线中，本文介绍了特殊参数下Majorana费米子的两类配对。将体系哈密顿量化为能用舒尔分解对角化的实反对称矩阵。用舒尔分解给出一般参数下Majorana费米子平凡相与非平凡相相图。数值计算了Majorana零能波函数和单粒子能谱。对于有限长的链，Majorana零模出现在链的端点附近，远离端点指数衰减;零能波函数彼此重叠，重叠源于两个端点处的Majorana费米子微弱的相互作用。对于足够长的链，重叠消失。单粒子能谱呈现零能和非零激发能间存在较大能隙。这样的能隙允许Majorana零模在弱扰动下保持稳定。Majorana零模随超导相和化学势变化的相图说明:对于足够长的链，Majorana零模的确在参数区域2|ω|＞|μ|出现与Kitaev预言的一致;对于有限长的链， Majorana零模出现的参数区域更小。引入杂质，一维线中有多于两个Majorana零模出现。Majorana零模可以出现于2|ω|＜|μ|区域中。但零模出现的区域大体依然稳定。 在二维平方晶格中，我们计算了色散关系和态密度，结果说明体系存在确定的能隙。沿kx方向的能谱，呈现体系存在受拓扑保护的边缘态。通过舒尔分解块对角化，我们画出了格点坐标下contourf Majorana零能波函数图像。与一维线不同的是:在没有引入杂质的情况下，二维晶格中就有多于2个Majorana零模出现，这可以通过改变参数（例如:自旋轨道耦合常量和磁场）实现。数值计算得到:在每个格点，对于两个不同的基态，自旋向上电子数与自旋向下电子数之和近似为1。体系有中心涡旋时，我们根据波函数的模长和辐角画出了有涡旋时体系的波函数，图像呈现Majorana零模出现在涡旋和边界附近。